Question

【題目】數學問題：用邊長相等的正三角形、正方形和正六邊形能否進行平面圖形的鑲嵌？

問題探究：為了解決上述數學問題，我們采用分類討論的思想方法去進行探究．

探究一：從正三角形、正方形和正六邊形中任選一種圖形，能否進行平面圖形的鑲嵌？

第一類：選正三角形．因為正三角形的每一個內角是60°，所以在鑲嵌平面時，圍繞某一點有6個正三角形的內角可以拼成一個周角，所以用正三角形可以進行平面圖形的鑲嵌．

第二類：選正方形．因為正方形的每一個內角是90°，所以在鑲嵌平面時，圍繞某一點有4個正方形的內角可以拼成一個周角，所以用正方形也可以進行平面圖形的鑲嵌．

第三類：選正六邊形．(仿照上述方法，寫出探究過程及結論)

探究二：從正三角形、正方形和正六邊形中任選兩種圖形，能否進行平面圖形的鑲嵌？

第四類：選正三角形和正方形

在鑲嵌平面時，設圍繞某一點有x個正三角形和y個正方形的內角可以拼成個周角．根據題意，可得方程

60x+90y＝360

整理，得2x+3y＝12．

我們可以找到唯一組適合方程的正整數解為.

鑲嵌平面時，在一個頂點周圍圍繞著3個正三角形和2個正方形的內角可以拼成一個周角，所以用正三角形和正方形可以進行平面鑲嵌

第五類：選正三角形和正六邊形．(仿照上述方法，寫出探究過程及結論)

第六類：選正方形和正六邊形，(不寫探究過程，只寫出結論)

探究三：用正三角形、正方形和正六邊形三種圖形是否可以鑲嵌平面？

第七類：選正三角形、正方形和正六邊形三種圖形．(不寫探究過程，只寫結論)，

Answer 1

【答案】詳見解析

【解析】

根據題意列出二元一次方程或三元一次方程，求出方程的正整數解，即可得出答案．

解：第五類：設x個正三角形，y個正六邊形，

則60x+120y＝360，

x+2y＝6，

正整數解是或，

即鑲嵌平面時，在一個頂點周圍圍繞著2個正三角形和2個正六邊形（或4個正三角形和1個正六邊形）的內角可以拼成一個周角，所以用正三角形和正六邊形可以進行平面鑲嵌；

第六類：設x個正方形，y個正六邊形，

則90x+120y+＝360，

3x+4y＝12，

此方程沒有正整數解，

即鑲嵌平面時，不能在一個頂點周圍圍繞著正方形和正六邊形的內角拼成一個周角，所以不能用正方形和正六邊形進行平面鑲嵌；

第七類：設x個正三角形，y個正方形，z個正六邊形，

則60x+90y+120z＝360，

2x+3y+4z＝12，

正整數解是，

即鑲嵌平面時，在一個頂點周圍圍繞著1個正三角形、2個正方形、1個正六邊的內角可以拼成一個周角，所以用正三角形、正方形、正六邊形可以進行平面鑲嵌．