Question

【題目】如圖，已知 內接于 ， 是直徑，點 在 上， ，過點 作 ，垂足為 ，連接 交 邊于點 ．

（1）求證： ∽ ；
（2）求證： ；
（3）連接 ，設 的面積為 ，四邊形 的面積為 ，若 ，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵AB是圓O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵DE⊥AB，

∴∠DEO=90°，

∴∠DEO=∠ACB，

∵OD//BC，

∴∠DOE=∠ABC，

∴△DOE~△ABC，

（2）

證明：∵△DOE~△ABC，

∴∠ODE=∠A，

∵∠A和∠BDC是弧BC所對的圓周角，

∴∠A=∠BDC，

∴∠ODE=∠BDC，

∴∠ODF=∠BDE。

（3）

解：因為△DOE~△ABC ,

所以，

即=4=4

因為OA=OB，

所以=，即=2,

因為=,S2=++=2S1+S1+,

所以=，

所以BE=OE,即OE=OB=OD，

所以sinA=sin∠ODE==

【解析】（1）易證∠DEO=∠ACB=90°和∠DOE=∠ABC，根據“有兩對角相等的兩個三角形相似”判定△DOE~△ABC；
（2）由△DOE~△ABC，可得∠ODE=∠A，由∠A和∠BDC是弧BC所對的圓周角，則∠A=∠BDC，從而通過角的等量代換即可證得；
（3）由∠ODE=∠A，可得sinA=sin∠ODE==；而由△DOE~△ABC ,可得 ， 即=4=4= ， 即=2,又因為=,S2=++=2S1+S1+,則可得= ， 可求得OE與OB的比值.
【考點精析】認真審題，首先需要了解圓周角定理(頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半)，還要掌握相似三角形的性質(對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形)的相關知識才是答題的關鍵．