Question

【題目】綜合題

（1）【探索發現】如圖①，是一張直角三角形紙片，∠B=60°，小明想從中剪出一個以∠B為內角且面積最大的矩形，經過多次操作發現，當沿著中位線DE、EF剪下時，所得的矩形的面積最大，隨后，他通過證明驗證了其正確性，并得出：矩形的最大面積與原三角形面積的比值為 ．
（2）【拓展應用】如圖②，在△ABC中，BC=a，BC邊上的高AD=h，矩形PQMN的頂點P、N分別在邊AB、AC上，頂點Q、M在邊BC上，則矩形PQMN面積的最大值為 ． （用含a，h的代數式表示）
（3）【靈活應用】如圖③，有一塊“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明從中剪出了一個面積最大的矩形（∠B為所剪出矩形的內角），求該矩形的面積．
（4）【實際應用】如圖④，現有一塊四邊形的木板余料ABCD，經測量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC= ，木匠徐師傅從這塊余料中裁出了頂點M、N在邊BC上且面積最大的矩形PQMN，求該矩形的面積．

Answer 1

【答案】
（1）
（2）
（3）

解：解：如圖1，延長BA、DE交于點F，延長BC、ED交于點G，延長AE、CD交于點H，取BF中點I，FG的中點K，

由題意知四邊形ABCH是矩形，

∵AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，

∴EH=20、DH=16，

∴AE=EH、CD=DH，

在△AEF和△HED中，

∵ ，

∴△AEF≌△HED（ASA），

∴AF=DH=16，

同理△CDG≌△HDE，

∴CG=HE=20，

∴BI= =24，

∵BI=24＜32，

∴中位線IK的兩端點在線段AB和DE上，

過點K作KL⊥BC于點L，

由（1）知矩形的最大面積為 ×BGBF= ×（40+20）×（32+16）=720，

答：該矩形的面積為720

（4）

如圖2，延長BA、CD交于點E，過點E作EH⊥BC于點H，

∵tanB=tanC= ，

∴∠B=∠C，

∴EB=EC，

∵BC=108cm，且EH⊥BC，

∴BH=CH= BC=54cm，

∵tanB= = ，

∴EH= BH= ×54=72cm，

在Rt△BHE中，BE= =90cm，

∵AB=50cm，

∴AE=40cm，

∴BE的中點Q在線段AB上，

∵CD=60cm，

∴ED=30cm，

∴CE的中點P在線段CD上，

∴中位線PQ的兩端點在線段AB、CD上，

由【拓展應用】知，矩形PQMN的最大面積為 BCEH=1944cm2，

答：該矩形的面積為1944cm2

【解析】解：（1）【探索發現】
∵EF、ED為△ABC中位線，
∴ED∥AB，EF∥BC，EF= BC，ED= AB，
又∠B=90°，
∴四邊形FEDB是矩形，
則 = = = ，
所以答案是： ；
⑵【拓展應用】
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴ = ，即 = ，
∴PN=a﹣ PQ，
設PQ=x，
則S矩形PQMN=PQPN=x（a﹣ x）=﹣ x2+ax=﹣ （x﹣ ）2+ ，
∴當PQ= 時，S矩形PQMN最大值為 ，
所以答案是： ；
【考點精析】本題主要考查了三角形中位線定理和矩形的性質的相關知識點，需要掌握連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等才能正確解答此題．