Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，正比例函數與反比例函數的圖象分別交于A、C兩點，已知點B與點D關于坐標原點O成中心對稱，且點B的坐標為其中．

四邊形ABCD的是______填寫四邊形ABCD的形狀

當點A的坐標為時，四邊形ABCD是矩形，求m，n的值．

試探究：隨著k與m的變化，四邊形ABCD能不能成為菱形？若能，請直接寫出k的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）平行四邊形；（2），，（3）四邊形ABCD不可能成為菱形，理由見解析.

【解析】

(1)根據正、反比例函數的對稱性即可得出點A、C關于原點O成中心對稱，再結合點B與點D關于坐標原點O成中心對稱，即可得出對角線BD、AC互相平分，由此即可證出四邊形ABCD的是平行四邊形；

(2)由點A的縱坐標結合反比例函數圖象上點的坐標特征即可求出n值，進而得出點A的坐標以及OA的長度，再根據矩形的性質即可得出OB=OA，由點B的坐標即可求出m值；

(3)由點A在第一象限內，點B在x軸正半軸上，可得出∠AOB<90°，而菱形的對角線互相垂直平分，由此即可得知四邊形ABCD不可能成為菱形．

正比例函數與反比例函數的圖象分別交于A、C兩點，

點A、C關于原點O成中心對稱，

點B與點D關于坐標原點O成中心對稱，

對角線BD、AC互相平分，

四邊形ABCD的是平行四邊形，

故答案為：平行四邊形．

點在反比例函數的圖象上，

，解得：，

點，

，

四邊形ABCD為矩形，

，，，

，

；

四邊形ABCD不可能成為菱形，理由如下：

點A在第一象限內，點B在x軸正半軸上，

，

與BD不可能互相垂直，

四邊形ABCD不可能成為菱形．