Question

【題目】如圖，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分別平分△ABC的外角∠EAC、內角∠ABC、外角∠ACF．以下結論：

①AD∥BC；

②∠ACB=2∠ADB；

③∠ADC=90°﹣∠ABD；

④BD平分∠ADC；

⑤∠BDC=∠BAC．

其中正確的結論有（ ）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個

Answer 1

【答案】C

【解析】

試題分析：根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠EAC=∠ABC+∠ACB=2∠ABC，根據角平分線的定義可得∠EAC=2∠EAD，然后求出∠EAD=∠ABC，再根據同位角相等，兩直線平行可得AD∥BC，判斷出①正確；

根據兩直線平行，內錯角相等可得∠ADB=∠CBD，再根據角平分線的定義可得∠ABC=2∠CBD，從而得到∠ACB=2∠ADB，判斷出②正確；

根據兩直線平行，內錯角相等可得∠ADC=∠DCF，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和和角平分線的定義整理可得∠ADC=90°﹣∠ABD，判斷出③正確；

根據三角形的外角性質與角平分線的定義表示出∠DCF，然后整理得到∠BDC=∠BAC，判斷出⑤正確，再根據兩直線平行，內錯角相等可得∠CBD=∠ADB，∠ABC與∠BAC不一定相等，所以∠ADB與∠BDC不一定相等，判斷出④錯誤．

解：由三角形的外角性質得，∠EAC=∠ABC+∠ACB=2∠ABC，

∵AD是∠EAC的平分線，

∴∠EAC=2∠EAD，

∴∠EAD=∠ABC，

∴AD∥BC，故①正確，

∴∠ADB=∠CBD，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABC=2∠CBD，

∵∠ABC=∠ACB，

∴∠ACB=2∠ADB，故②正確；

∵AD∥BC，

∴∠ADC=∠DCF，

∵CD是∠ACF的平分線，

∴∠ADC=∠ACF=（∠ABC+∠BAC）=（180°﹣∠ACB）=（180°﹣∠ABC）=90°﹣∠ABD，故③正確；

由三角形的外角性質得，∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠DCF=∠BDC+∠DBC，

∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACF，

∴∠DBC=∠ABC，∠DCF=∠ACF，

∴∠BDC+∠DBC=（∠ABC+∠BAC）=∠ABC+∠BAC=∠DBC+∠BAC，

∴∠BDC=∠BAC，故⑤正確；

∵AD∥BC，

∴∠CBD=∠ADB，

∵∠ABC與∠BAC不一定相等，

∴∠ADB與∠BDC不一定相等，

∴BD平分∠ADC不一定成立，故④錯誤；

綜上所述，結論正確的是①②③⑤共4個．

故選C．