Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，過點D作AC的垂線，與AC的延長線相交于點E，與AB的延長線相交于點F．

（1）求證：EF與⊙O相切；
（2）若AB=6，AD=4 ，求EF的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接OD，

∵AD平分∠CAB，

∴∠OAD=∠EAD．

∵OD=OA，

∴∠ODA=∠OAD．

∴∠ODA=∠EAD．

∴OD∥AE．

∵∠ODF=∠AEF=90°且D在⊙O上，

∴EF與⊙O相切．

（2）

證明：連接BD，作DG⊥AB于G，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∵AB=6，AD=4 ，

∴BD= =2，

∵OD=OB=3，

設OG=x，則BG=3﹣x，

∵OD2﹣OG2=BD2﹣BG2，即32﹣x2=22﹣（3﹣x）2，

解得x= ，

∴OG= ，

∴DG= = ，

∵AD平分∠CAB，AE⊥DE，DG⊥AB，

∴DE=DG= ，

∴AE= = ，

∵OD∥AE，

∴△ODF∽△AEF，

∴ ，即 ，

∴ ，

∴EF= ．

【解析】（1）連接OD，由題可知，E已經是圓上一點，欲證CD為切線，只需證明∠ODF=90°即可．（2）連接BD，作DG⊥AB于G，根據勾股定理求出BD，進而根據勾股定理求得DG，根據角平分線性質求得DE=DG= ，然后根據△ODF∽△AEF，得出比例式，即可求得EF的長．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用切線的判定定理的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．