Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分線AD交BC于D．

（1）動(dòng)手操作：利用尺規(guī)作⊙O，使⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D，且圓心O在AB上；并標(biāo)出⊙O與AB的另一個(gè)交點(diǎn)E（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；

（2）綜合應(yīng)用：在你所作的圖中，

①判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

②若AB=6，BD=2，求線段BD、BE與劣弧所圍成的圖形面積（結(jié)果保留根號(hào)和π）．

Answer 1

【答案】（1）圖形見(jiàn)解析（2）①相切；②2﹣π

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意得：O點(diǎn)應(yīng)該是AD垂直平分線與AB的交點(diǎn)；

（2）①由∠BAC的角平分線AD交BC邊于D，與圓的性質(zhì)可證得AC∥OD，又由∠C=90°，則問(wèn)題得證；

②設(shè)⊙O的半徑為r．則在Rt△OBD中，利用勾股定理列出關(guān)于r的方程，通過(guò)解方程即可求得r的值；然后根據(jù)扇形面積公式和三角形面積的計(jì)算可以求得“線段BD、BE與劣弧DE所圍成的圖形面積為： =2﹣π”．

試題解析：（1）如圖1；

（2）①如圖1，連接OD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ADO，

∵∠BAC的角平分線AD交BC邊于D，

∴∠CAD=∠OAD，

∴∠CAD=∠ADO，

∴AC∥OD，

∵∠C=90°，

∴∠ODB=90°，

∴OD⊥BC，

即直線BC與⊙O的切線，

∴直線BC與⊙O的位置關(guān)系為相切；

（2）如圖2，設(shè)⊙O的半徑為r，則OB=6﹣r，又BD=2，

在Rt△OBD中，

OD2+BD2=OB2，

即r2+（2 ）2=（6﹣r）2，

解得r=2，OB=6﹣r=4，

∴∠DOB=60°，

∴=，

=ODBD=×2×2=2，

∴線段BD、BE與劣弧DE所圍成的圖形面積為： =2﹣．