Question

【題目】如圖1，把一張長方形的紙片ABCD沿對角線BD折疊，點C落在E處，BE交AD于點F.

（1）求證：FB=FD;

（2）如圖2，連接AE，求證：AE∥BD;

（3）如圖3，延長BA，DE相交于點G，連接GF并延長交BD于點H，求證：GH垂直平分BD．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

試題(1)根據矩形的性質和折疊的性質可得：AB＝DC=DE，∠BAD＝∠BCD＝∠BED=90°，根據AAS可證△ABF≌△EDF，根據全等三角形的性質可證BF=DF；

(2)根據全等三角形的性質可證：FA=FE，根據等邊對等角可得：∠FAE=∠FEA，根據三角形內角和定理可證：2∠AEF ＋∠AFE =2∠FBD＋∠BFD =180°，所以可證∠AEF=∠FBD，根據內錯角相等，兩直線平行可證AE∥BD；

(3)根據矩形的性質可證：AD=BC=BE，AB=CD=DE，BD=DB，根據SSS可證：△ABD≌△EDB，根據全等三角形的性質可證：∠ABD=∠EDB，根據等角對等邊可證：GB=GD，根據HL可證：△AFG≌△EFG，根據全等三角形的性質可證：∠AGF=∠EGF，所以GH垂直平分BD.

試題解析：（1）∵長方形ABCD，

∴AB＝DC=DE，∠BAD＝∠BCD＝∠BED=90°，

在△ABF和△DEF中，

∴△ABF≌△EDF（AAS），

∴BF=DF.

（2）∵△ABF≌△EDF，

∴FA=FE，

∴∠FAE=∠FEA，

又∵∠AFE=∠BFD，且2∠AEF ＋∠AFE =2∠FBD＋∠BFD =180°，

∴∠AEF=∠FBD，

∴AE∥BD，

（3）∵長方形ABCD，

∴AD=BC=BE，AB=CD=DE，BD=DB，

∴△ABD≌△EDB（SSS），

∴∠ABD=∠EDB，

∴GB=GD，

在△AFG和△EFG中，

∠GAF＝∠GEF=90°，

FA=FE，

FG＝FG，

∴△AFG≌△EFG（HL），

∴∠AGF=∠EGF，

∴GH垂直平分BD.

【方法II】

（1）∵△BCD≌△BED，

∴∠DBC＝∠EBD

又∵長方形ABCD，

∴AD∥BC，

∴∠ADB＝∠DBC，

∴∠EBD＝∠ADB，

∴FB=FD.

（2）∵長方形ABCD，

∴AD=BC=BE，

又∵FB=FD，

∴FA=FE，

∴∠FAE=∠FEA，

又∵∠AFE=∠BFD，且2∠AEF ＋∠AFE =2∠FBD＋∠BFD =180°，

∴∠AEF=∠FBD，

∴AE∥BD，

（3）∵長方形ABCD，

∴AD=BC=BE，AB=CD=DE，BD=DB，

∴△ABD≌△EDB，

∴∠ABD=∠EDB，

∴GB=GD，

又∵FB=FD，

∴GF是BD的垂直平分線，

即GH垂直平分BD.