Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（2，3）、B（6，3），連結AB．如果點P在直線y=x+1上，且點P到直線AB的距離大于或等于1，那么稱點P是線段AB的“疏遠點”．
（1）判斷點C（

5

2

，

7

2

）是否是線段AB的“疏遠點”，并說明理由；
（2）若點Q（m，n）是線段AB的“疏遠點”，求m的取值范圍．

Answer 1

（1）點C（

5

2

，

7

2

）不是線段AB的“疏遠點”．理由如下：
∵

5

2

+1=

7

2

，
∴點C（

5

2

，

7

2

）在直線y=x+1上；
∵點A的縱坐標與點B的縱坐標相同，
∴AB∥軸，
∴點C（

5

2

，

7

2

）到線段AB的距離是

7

2

-3=

1

2

＜1，
∴點C（

5

2

，

7

2

）不是線段AB的“疏遠點”；

（2）∵點Q（m，n）是線段AB的“疏遠點”，
∴點Q（m，n）在直線y=x+1上，
∴n=m+1．
①當n=m+1≥3，即m≥2時，
∵AB∥x軸，∴點Q（m，n）到線段AB的距離是n-3，
∴m+1-3≥1，解得m≥3；
②當n=m+1＜3，即m＜2時，
∵AB∥x軸，∴點Q（m，n）到線段AB的距離是3-n，
∴3-m-1≥1，解得m≤1，
綜上所述，m≥3或m≤1．