Question

【題目】平面直角坐標系xOy中，拋物線y=mx2﹣2m2x+2交y軸于A點，交直線x=4于B點．

（1）拋物線的對稱軸為x=_____（用含m的代數式表示）；

（2）若AB∥x軸，求拋物線的表達式；

（3）記拋物線在A，B之間的部分為圖象G（包含A，B兩點），若對于圖象G上任意一點P（xp，yp），yp≤2，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）m, （2）y=2x2﹣8x+2．（3）m＜0或m≥2．

【解析】

（1）根據拋物線的對稱軸為直線x=﹣，代入數據即可得出結論；

（2）由AB∥x軸，可得出點B的坐標，進而可得出拋物線的對稱軸為x=2，結合（1）可得出m=2，將其代入拋物線表達式中即可；

（3）分m＞0及m＜0兩種情況考慮，依照題意畫出函數圖象，利用數形結合即可得出m的取值范圍．

（1）拋物線的對稱軸為x==m．

故答案為：m．

（2）當x=0時，y=mx2﹣2m2x+2=2，

∴點A（0，2）．

∵AB∥x軸，且點B在直線x=4上，

∴點B（4，2），拋物線的對稱軸為直線x=2，

∴m=2，

∴拋物線的表達式為y=2x2﹣8x+2．

（3）當m＞0時，如圖1．

∵A（0，2），

∴要使0≤xp≤4時，始終滿足yp≤2，只需使拋物線y=mx2﹣2m2x+2的對稱軸與直線x=2重合或在直線x=2的右側．

∴m≥2；

當m＜0時，如圖2，

在0≤xp≤4中，yp≤2恒成立．

綜上所述，m的取值范圍為m＜0或m≥2．