Question

【題目】某校機器人興趣小組在如圖①所示的矩形場地上開展訓練．機器人從點 出發，在矩形 邊上沿著 的方向勻速移動，到達點 時停止移動．已知機器人的速度為 個單位長度/ ，移動至拐角處調整方向需要 （即在 、 處拐彎時分別用時 ）．設機器人所用時間為 時，其所在位置用點 表示， 到對角線 的距離（即垂線段 的長）為 個單位長度，其中 與 的函數圖像如圖②所示．

（1）求 、 的長；
（2）如圖②，點 、 分別在線段 、 上，線段 平行于橫軸， 、 的橫坐標分別為 、 ．設機器人用了 到達點 處，用了 到達點 處（見圖①）．若 ，求 、 的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：作AT⊥BD，垂足為T，由題意得，AB=8，AT=。

在Rt△ABT中，AB2=BT2+AT2，

∴BT=.

∵tan∠ABD==,

∴AD=6，即BC=6

（2）

解：在圖①中，連接P1P2，過P1，P2分別作BD的垂線，垂足為Q1，Q2，則P1Q1//P2Q2,

∵在圖②中，線段MN平行于橫軸，

∴d1=d2，即P1Q1=P2Q2，

∴P1P2//BD,

∴△CP1P2~△CBD，

∴

即

又∵CP1+CP2=7，

∴CP1=3，CP2=4，

設M，N的橫坐標分別為t1,t2，

由題意得，CP1=15-t1，CP2=t2-16，∴t1=12,t2=20

【解析】（1）點P在A點上時，d有最大值為，故可作AT⊥BD，垂足為T，當點Ｐ從A運動到B時，剛好d=0，則AB=8，根據勾股定理求得BT，則由tan∠ABD==可求出AD；
（2）首先觀察圖②可得點M和點N的縱坐標相等，即此時d1=d2,故可過P1 ， P2分別作BD的垂線，垂足為Q1 ， Q2 ， 則P1Q1//P2Q2,且P1Q1=P2Q2 ， 從而得到P1P2//BD,△CP1P2~△CBD，通過相似邊求出CP1與CP2的數量關系，再由CP1+CP2=7，可解得CP1=3，CP2=4，從而求出時間t1和t2。