Question

【題目】如圖，AB=16，O為AB中點，點C在線段OB上（不與點O，B重合），將OC繞點O逆時針旋轉270°后得到扇形COD，AP，BQ分別切優弧 于點P，Q，且點P，Q在AB異側，連接OP．
（1）求證：AP=BQ；
（2）當BQ=4 時，求 的長（結果保留π）；
（3）若△APO的外心在扇形COD的內部，求OC的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OQ．

∵AP、BQ是⊙O的切線，

∴OP⊥AP，OQ⊥BQ，

∴∠APO=∠BQO=90°，

在Rt△APO和Rt△BQO中，

，

∴Rt△APO≌Rt△BQO，

∴AP=BQ

（2）解：∵Rt△APO≌Rt△BQO，

∴∠AOP=∠BOQ，

∴P、O、Q三點共線，

∵在Rt△BOQ中，cosB= = = ，

∴∠B=30°，∠BOQ=60°，

∴OQ= OB=4，

∵∠COD=90°，

∴∠QOD=90°+60°=150°，

∴優弧 的長= = π

（3）解：∵△APO的外心是OA的中點，OA=8，

∴△APO的外心在扇形COD的內部時，OC的取值范圍為4＜OC＜8

【解析】（1）連接OQ．只要證明Rt△APO≌Rt△BQO即可解決問題；（2）求出優弧DQ的圓心角以及半徑即可解決問題；（3）由△APO的外心是OA的中點，OA=8，推出△APO的外心在扇形COD的內部時，OC的取值范圍為4＜OC＜8；
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解切線的性質定理的相關知識，掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑，以及對弧長計算公式的理解，了解若設⊙O半徑為R，n°的圓心角所對的弧長為l，則l=nπr/180;注意：在應用弧長公式進行計算時，要注意公式中n的意義．n表示1°圓心角的倍數，它是不帶單位的．