Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，AC是對角線，今有較大的直角三角板，一邊始終經過點B，直角頂點P在射線AC上移動，另一邊交DC于Q．
（1）如圖①，當點Q在DC邊上時，猜想并寫出PB與PQ所滿足的數量關系，并加以證明；
（2）如圖②，當點Q落在DC的延長線上時，猜想并寫出PB與PQ滿足的數量關系，并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】
（1）解：結論：PB=PQ，

理由：如圖①中，過P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分別為E，F．

∵P為正方形對角線AC上的點，

∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，

∴PF=PE，

∴四邊形PECF為正方形．

∵∠BPE+∠QPE=90°，∠QPE+∠QPF=90°，

∴∠BPE=∠QPF，

在△PQF和△PBE中，

，

∴Rt△PQF≌Rt△PBE，

∴PB=PQ；

（2）解：結論：PB=PQ．

理由：如圖②，過P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分別為E，F，

∵P為正方形對角線AC上的點，

∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，

∴PF=PE，

∴四邊形PECF為正方形，

∵∠BPF+∠QPF=90°，∠BPF+∠BPE=90°，

∴∠BPE=∠QPF，

在△PQF和△PBE中，

，

∴Rt△PQF≌Rt△PBE，

∴PB=PQ．

【解析】（1）結論：PB=PQ，如圖①中，過P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分別為E，F．只要證明Rt△PQF≌Rt△PBE即可．（2）結論不變，證明方法類似．