Question

【題目】如圖，在ABCD中，連接對角線BD，BE平分∠ABD交AD于點E，DF平分∠BDC交BC于點F．

（1）求證：△AEB≌△CFD；

（2）若BD=BA，試判斷四邊形DEBF的形狀，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形DEBF是矩形；理由見解析.

【解析】分析：（1）由平行四邊形的性質得出AD∥BC，CD∥BA，∠A=∠C，AB=CD，得出∠ABD=∠BDC，由角平分線的定義證出∠DBE=∠FDB，由ASA證明△AEB≌△CFD即可；（2）先證明四邊形DEBF是平行四邊形，再根據等腰三角形的“三線合一”的性質推知BE⊥AD，然后由“有一內角為直角的平行四邊形是矩形”證得四邊形DEBF是矩形即可．

本題解析：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，CD∥BA，∠A=∠C，AB=CD，

∴∠ABD=∠BDC（兩直線平行，內錯角相等）．

又∵BE平分∠ABD，DF平分∠BDC，

∴∠ABE=∠DBE=∠ABD，∠CDF=∠BDF=∠BDC，

∴∠DBE=∠FDB=∠DBE=∠BDF（等量代換），

在△AEB和△CFD中， ，

∴△AEB≌△CFD（ASA）；

（2）解：四邊形DEBF是矩形；理由如下：

由（1）知：∠DBE=∠BDF，

∴BE∥DF，

∵DE∥BF，

∴四邊形EBFD是平行四邊形．

∵BD=BA，BE是∠ABD的平分線，

∴BE⊥AD，

∴∠DEB=90°，

∴四邊形DEBF是矩形（有一內角為直角的平行四邊形是矩形）．