Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系內(nèi)，已知直線y=x+4與x軸、y軸分別相交于點A和點C，拋物線y=x2+kx+k﹣1圖象過點A和點C，拋物線與x軸的另一交點是B，

（1）求出此拋物線的解析式、對稱軸以及B點坐標；
（2）若在y軸負半軸上存在點D，能使得以A、C、D為頂點的三角形與△ABC相似，請求出點D的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由x=0得y=0+4=4，則點C的坐標為（0，4）；

由y=0得x+4=0，解得x=﹣4，則點A的坐標為（﹣4，0）；

把點C（0，4）代入y=x2+kx+k﹣1，得k﹣1=4，

解得：k=5，

∴此拋物線的解析式為y=x2+5x+4，

∴此拋物線的對稱軸為x=﹣ =﹣ ．

令y=0得x2+5x+4=0，

解得：x1=﹣1，x2=﹣4，

∴點B的坐標為（﹣1，0）

（2）

解：∵A（﹣4，0），C（0，4），

∴OA=OC=4，

∴∠OCA=∠OAC．

∵∠AOC=90°，OB=1，OC=OA=4，

∴AC= =4 ，AB=OA﹣OB=4﹣1=3．

∵點D在y軸負半軸上，∴∠ADC＜∠AOC，即∠ADC＜90°．

又∵∠ABC＞∠BOC，即∠ABC＞90°，∴∠ABC＞∠ADC．

∴由條件“以A、C、D為頂點的三角形與△ABC相似”可得△CAD∽△ABC，

∴ = ，即 = ，

解得：CD= ，

∴OD=CD﹣CO= ﹣4= ，

∴點D的坐標為（0，﹣ ）．

【解析】（1）先求出A、C兩點的坐標，再代入拋物線的解析式，就可求出該拋物線的解析式，然后根據(jù)拋物線的對稱軸方程x=﹣ 求出拋物線的對稱軸，根據(jù)拋物線上點的坐標特征求出點B的坐標；（2）易得∠OAC=∠OCA，∠ABC＞∠ADC，由此根據(jù)條件即可得到△CAD∽△ABC，然后運用相似三角形的性質(zhì)可求出CD的長，由此可得到OD的長，就可解決問題．
【考點精析】利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．