Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E為AB上一點，AE=1，M為射線AD上一動點，AM=a（a為大于0的常數），直線EM與直線CD交于點F，過點M作MG⊥EM，交直線BC于點G．

（1）若M為邊AD中點，求證△EFG是等腰三角形；
（2）若點G與點C重合，求線段MG的長；
（3）請用含a的代數式表示△EFG的面積S，并指出S的最小整數值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=∠MDF=90°，

∵M為邊AD中點，

∴MA=MD

在△MAE和△MDF中，

∴△MAE≌△MDF（ASA），

∴EM=FM，

又∵MG⊥EM，

∴EG=FG，

∴△EFG是等腰三角形；

（2）

解：如圖1，

∵AB=3，AD=4，AE=1，AM=a

∴BE=AB﹣AE=3﹣1=2，BC=AD=4，

∴EM2=AE2+AM2，EC2=BE2+BC2，

∴EM2=1+a2，EC2=4+16=20，

∵CM2=EC2﹣EM2，

∴CM2=20﹣1﹣a2=19﹣a2，

∴CM= ．

∵AB∥CD，

∴∠AEM=∠MFD，

又∵∠MCD+∠MFD=90°，∠AME+∠AEM=90°，

∴∠AME=∠MCD，

∵∠MAE=∠CDM=90°，

∴△MAE∽△CDM，

∴ = ，即 = ，

解得a=1或3，

代入CM= ．

得CM=3 或 ．

（3）

解：①當點M在AD上時，如圖2，作MN⊥BC，交BC于點N，

∵AB=3，AD=4，AE=1，AM=a

∴EM= = ，MD=AD﹣AM=4﹣a，

∵∠A=∠MDF=90°，∠AME=∠DMF，

∴△MAE∽△MDF

∴ = ，

∴ = ，

∴FM= ，

∴EF=EM+FM= + = ，

∵AD∥BC，

∴∠MGN=∠DMG，

∵∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠DMG=90°，

∴∠AME=∠DMG，

∴∠MGN=∠AEM，

∵∠MNG=∠MAE=90°，

∴△MNG∽△MAE

∴ = ，

∴ = ，

∴MG= ，

∴S= EFMG= × × = +6，

即S= +6，

當a= 時，S有最小整數值，S=1+6=7．

②當點M在AD的延長線上時，如圖3，作MN⊥BC，交BC延長線于點N，

∵AB=3，AD=4，AE=1，AM=a

∴EM= = ，MD=a﹣4，

∵DC∥AB，

∴△MAE∽△MDF

∴ = ，

∴ = ，

∴FM= img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2017/08/15/10/03a9f863/SYS201708151049289122374001_DA/SYS201708151049289122374001_DA.012.png" width="57" height="25" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" /> ，

∴EF=EM﹣FM= ﹣ = ，

∵∠AME+∠EMN=90°，∠NMG+∠EMN=90°，

∴∠AME=∠NMG，

∵∠MNG=∠MAE=90°，

∴△MNG∽△MAE

∴ = ，

∴ = ，

∴MG= ，

∴S= EFMG= × × = +6，

即S= +6，

當a＞4時，S沒有整數值．

綜上所述當a= 時，S有最小整數值，S=1+6=7．

【解析】（1）利用△MAE≌△MDF，求出EM=FM，再由MG⊥EM，得出EG=FG，所以△EFG是等腰三角形；（2）利用勾股定理EM2=AE2+AM2 ， EC2=BE2+BC2 ， 得出CM2=EC2﹣EM2 ， 利用線段關系求出CM．再△MAE∽△CDM，求出a的值，再求出CM．（3）①當點M在AD上時，②：①當點M在AD的延長線上時，作MN⊥BC，交BC于點N，先求出EM，再利用△MAE∽△MDF求出FM，得到EF的值，再由△MNG∽△MAE得出MG的長度，然后用含a的代數式表示△EFG的面積S，指出S的最小整數值．
【考點精析】本題主要考查了相似三角形的性質的相關知識點，需要掌握對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形才能正確解答此題．