Question

【題目】如圖1，在四邊形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°．

（1）連接AD，根據 易證△ACD≌△　　　　；

（2）如圖2，若E是AC上一點，F是AB延長線上一點，且CE=BF，求證：DE=DF；

（3）如圖3，在（2）的條件下，若G在AB上且∠EDG=60°，試猜想CE、EG、BG之間的數量關系并證明所歸納結論；

（4）若題中條件“∠CAB=60°且∠CDB=120°”改為“∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α”，G在AB上，∠EDG滿足什么條件時，（3）中結論仍然成立？（只寫結果不要證明）．

Answer 1

【答案】（1）SSS，ABD；（2）證明見解析；（3）CE＋BG＝EG；（4）當∠EDG＝90°α時，CE＋BG＝EG仍然成立.

【解析】

（1）根據三角形全等的判定即可解答；

（2）根據已知推出∠C＝∠DBF，根據SAS證△DEC≌△DFB即可；

（3）根據△ACD≌△ABD，推出∠CDA＝∠BDA＝60°，推出∠GDF＝60°，得出△DGF≌△DEG，推出FG＝EG即可；

（4）根據（3）的證明過程，要使CE＋BG＝EG仍然成立，則∠EDG＝∠BDA＝∠CDA＝∠CDB，即∠EDG＝（180°α）＝90°α，據此解答即可．

解：（1）連接AD，根據SSS易證△ACD≌△ABD；

（2）∵∠CAB＋∠C＋∠CDB＋∠ABD＝360°，∠CAB＝60°，∠CDB＝120°，

∴∠C＋∠ABD＝180°，

∵∠ABD＋∠DBF＝180°，

∴∠C＝∠DBF，

在△DEC和△DFB中，

，

∴△DEC≌△DFB（SAS），

∴DE＝DF；

（3）CE＋BG＝EG，

證明：如圖，連接DA，

∵△ACD≌△ABD（SSS），

∴∠CDA＝∠BDA＝60°，

∵∠EDG＝∠EDA＋∠ADG＝∠ADG＋∠GDB＝60°，

∴∠CDE＝∠ADG，∠EDA＝∠GDB，

∵∠BDF＝∠CDE，

∴∠GDB＋∠BDF＝60°，

在△DGF和△DEG中，

，

∴△DGF≌△DEG（SAS），

∴FG＝EG，

∵CE＝BF，

∴CE＋BG＝EG．

（4）要使CE＋BG＝EG仍然成立，

則∠EDG＝∠BDA＝∠CDA＝∠CDB，

即∠EDG＝（180°α）＝90°α，

∴當∠EDG＝90°α時，CE＋BG＝EG仍然成立．