Question

【題目】如圖1，直線y=2x﹣2與曲線y= （x＞0）相交于點A（2，n），與x軸、y軸分別交于點B，C．

（1）求曲線的解析式；
（2）試求ABAC的值？
（3）如圖2，點E是y軸正半軸上一動點，過點E作直線AC的平行線，分別交x軸于點F，交曲線于點D．是否存在一個常數k，始終滿足：DEDF=k？如果存在，請求出這個常數k；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直線y=2x﹣2經過點A（2，n），

∴n=2×2﹣2=2，即A的坐標是（2，2），

把（2，2）代入y= 得m=4，

則反比例函數的解析式是y= （x＞0）

（2）

解：過A作AM⊥x軸于點M．

在y=2x﹣2中，令x=0解得y=﹣2，則C的坐標是（0，﹣2），令y=0，則2x﹣2=0，解得x=1，則B的坐標是（1，0）；

則AB= = = ，

BC= = = ，

則ABAC= ×2 =10

（3）

解：存在常數k，過點D作DN⊥x軸于點N．過點E作EG⊥DN于點G，則∠AMB=∠DNF=∠DGE=90°，

設D的坐標是（a， ），則EG=a，DN= ，

∵DF∥AC，EG∥FN，

∴∠ABM=∠DFG=∠DEG，

∴△ABM∽△DFN，△ABM∽△DEG，

∴ ，有DF： = ，則DF=2 a，

又 = ，有 = ，則ED= a，

于是，DEDF= a =10．

即存在常數k=10

【解析】（1）首先把A代入直線解析式求得A的坐標，然后利用待定系數法求得反比例函數解析式；（2）首先求得A和B的坐標，過A作AM⊥x軸于點M，然后利用勾股定理求得AB和BC的長，則AB和AC的長即可求得，則兩線段的乘積即可求得；（3）過點D作DN⊥x軸于點N．過點E作EG⊥DN于點G，易證△ABM∽△DFN，△ABM∽△DEG，根據相似三角形的對應邊的比相等即可求解．
【考點精析】本題主要考查了一次函數的圖象和性質和反比例函數的圖象的相關知識點，需要掌握一次函數是直線，圖像經過仨象限；正比例函數更簡單,經過原點一直線；兩個系數k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來相見,k為正來右上斜,x增減y增減；k為負來左下展,變化規律正相反；k的絕對值越大,線離橫軸就越遠；反比例函數的圖像屬于雙曲線．反比例函數的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．有兩條對稱軸：直線y=x和 y=-x．對稱中心是：原點才能正確解答此題．