Question

【題目】如圖，直線l：y=﹣x+1與x軸，y軸分別交于A，B兩點，點P，Q是直線l上的兩個動點，且點P在第二象限，點Q在第四象限，∠POQ=135°．

（1）求△AOB的周長；

（2）設AQ=t＞0，試用含t的代數式表示點P的坐標；

（3）當動點P，Q在直線l上運動到使得△AOQ與△BPO的周長相等時，記tan∠AOQ=m，若過點A的二次函數y=ax2+bx+c同時滿足以下兩個條件：

①6a+3b+2c=0；

②當m≤x≤m+2時，函數y的最大值等于，求二次項系數a的值．

Answer 1

【答案】（1）△AOB周長為2+．（2）P（﹣，1+）．（3）a的值為或﹣2﹣2．

【解析】

試題分析：（1）先求出A、B坐標，再求出OB、OA、AB即可解決問題．（2）由△PBO∽△OAQ，得=，求出PB，再根據等腰直角三角形性質可以求得點P坐標．（3）先求出m的值，分①a＞0，②a＜0，兩種情形，利用二次函數性質分別求解即可．

試題解析：（1）在函數y=﹣x+1中，令x=0，得y=1，

∴B（0，1），

令y=0，得x=1，

∴A（1，0），

則OA=OB=1，AB=，

∴△AOB周長為1+1+=2+．

（2）∵OA=OB，

∴∠ABO=∠BAO=45°，

∴∠PBO=∠QAO=135°，

設∠POB=x，則∠OPB=∠AOQ=135°﹣x﹣90°=45°﹣x，

∴△PBO∽△OAQ，

∴=，

∴PB==，

過點P作PH⊥OB于H點，

則△PHB為等腰直角三角形，

∵PB=，

∴PH=HB=，

∴P（﹣，1+）．

（3）由（2）可知△PBO∽△OAQ，若它們的周長相等，則相似比為1，即全等，

∴PB=AQ，

∴=t，

∵t＞0，

∴t=1，

同理可得Q（1+，﹣），

∴m==﹣1，

∵拋物線經過點A，

∴a+b+c=0，

又∵6a+3b+2c=0，

∴b=﹣4a，c=3a，

對稱軸x=2，取值范圍﹣1≤x+1，

①若a＞0，則開口向上，

由題意x=﹣1時取得最大值=2+2，

即（﹣1）2a+（﹣1）b+c=2+2，

解得a=．

②若a＜0，則開口向下，

由題意x=2時取得最大值2+2，

即4a+2b+c=2+2，

解得a=﹣2﹣2．

綜上所述所求a的值為或﹣2﹣2．