Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，AB=2，D是邊BC的中點，點P從點A出發，沿AB﹣BD以每秒1個單位長度的速度向終點D運動．同時點Q從點C出發，沿CA﹣AC以每秒1個單位長度的速度運動．當點P停止運動時，點Q也隨之停止運動，設點P的運動時間為t（秒），△PQD的面積為S．

（1）求線段PB的長（用含t的代數式）．

（2）當△PQD是等邊三角形時，求t的值．

（3）當S＞0時，求S與t的函數關系式．

（4）若點D關于直線PQ的對稱點為點D′，且S＞0，直接寫出點D′落在△ABC的邊上時t的值．

Answer 1

【答案】（1）BP=t﹣2；（2）1；（3）當0≤t≤2時，，當2＜t＜3時，．（4）1或2.5.

【解析】

試題分析: （1）根據當0≤t≤2和2≤t≤3時兩種情況進行解答即可；

（2）根據等邊三角形的性質和AAS證明△BPD與△CDQ全等解答即可；

（3）根據當0≤t≤2和2＜t＜3時兩種情況，利用三角函數和三角形面積公式解答即可．

（4）根據點D′落在△ABC的邊上兩種情況解答即可．

試題解析：（1）∵△ABC是等邊三角形，AB=2，

∴當0≤t≤2時，BP=2﹣t；

當2≤t≤3時，BP=t﹣2；

（2）如圖1，∵△PQD是等邊三角形，

∴∠PDQ=60°，

∴∠PDB+∠CDQ=120°，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B=∠C=60°，

∴∠PDB+∠BPD=120°，

∴∠BPD=∠CDQ，

∵BD=CD，

在△BPD與△CDQ中，

，

∴△BPD≌△CDQ（AAS），

∴BP=CQ，

∴2﹣t=t，

∴t=1，

（3）當0≤t≤2時，如圖2，連接AD，

∵△ABC是等邊三角形，D是邊BC的中點，

∴∠ADB=90°，

∴AD=ABsin60°=，

分別過點P，Q作PE⊥BC，QF⊥BC，垂足分別為點E，F，

在Rt△BPE中，∠BEP=90°，PE=PBsin60°=，

在Rt△QCF中，∠QFC=90°，QF=CQsin60°=，

過點Q作QG⊥AB于點G，

在Rt△AGQ中，∠AGQ=90°，QG=AQsin60°=，

∴S△PQD=S△ABC﹣S△BPD﹣S△QCD﹣S△APQ，

∴，

∴，

當2＜t＜3時，如圖3

過點Q作QH⊥BC于點H，

在Rt△CQH中，∠CHQ=90°，

QH=CQsin60°=，

∴，

∴．

（4）點D′落在△ABC的邊上，如圖4，此時t=1；

點D′落在△ABC的邊上，如圖5，此時t=2.5．