Question

【題目】（本題滿分12分）在平面直角坐標系中，拋物線經過A（－3,0）、B（4,0）兩點，且與y軸交于點C，點D在x軸的負半軸上，且BD＝BC，有一動點P從點A出發，沿線段AB以每秒1個單位長度的速度向點B移動，同時另一個動點Q從點C出發，沿線段CA以某一速度向點A移動.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若經過t秒的移動，線段PQ被CD垂直平分，求此時t的值；

（3）該拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使MQ＋MA的值最小？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為 .（2）t的值為.（3）在拋物線的對稱軸上存在一點M（ ， ），使得MQ＋MA的值最小.

【解析】解：（1）∵拋物線經過A（－3,0），B（4,0）兩點，

∴ 解得

∴所求拋物線的解析式為.

（2）如圖，依題意知AP＝t，連接DQ，

由A（－3,0），B（4,0），C（0,4），

可得AC＝5，BC＝ ，AB＝7.

∵BD＝BC，

∴ .

∵CD垂直平分PQ，∴QD＝DP，∠CDQ= ∠CDP.

∵BD＝BC，∴∠DCB= ∠CDB.

∴∠CDQ= ∠DCB.∴DQ∥BC.

∴△ADQ∽△ABC.∴ .∴ .

∴ .解得 .

∴ .

∴線段PQ被CD垂直平分時，t的值為 .

（3）設拋物線的對稱軸 與x軸交于點E.

點A、B關于對稱軸 對稱，連接BQ交該對稱軸于點M.

則 ，即.

當BQ⊥AC時，BQ最小.

此時，∠EBM= ∠ACO.

∴ .

∴ .∴ ，

解得ME=.

∴M（， ）.

即在拋物線的對稱軸上存在一點M（ ， ），使得MQ＋MA的值最小.