Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，矩形OABC的兩邊分別在x軸和y軸上，OA＝cm，OC＝8cm，現有兩動點P、Q分別從O、C同時出發，P在線段OA上沿OA方向以每秒cm的速度勻速運動，Q在線段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度勻速運動．設運動時間為t秒．

（1）用t的式子表示△OPQ的面積S；

（2）求證：四邊形OPBQ的面積是一個定值，并求出這個定值；

（3）當△OPQ與△PAB和△QPB相似時，拋物線y＝x 2＋bx＋c經過B、P兩點，過線段BP上一動點M作y軸的平行線交拋物線于N，當線段MN的長取最大值時，求直線MN把四邊形OPBQ分成兩部分的面積之比．

Answer 1

【答案】（1）S△OPQ＝－t2＋t（0＜t＜8）；（2）四邊形OPBQ的面積為一個定值，且等于；（3）3:29 .

【解析】試題分析：（1）根據的運動速度，可用表示出的長，進而根據的長求出的表達式，即可由三角形的面積公式得到的函數關系式；
（2）四邊形的面積，可由矩形的面積差求得，進而可得到所求的定值；
（3）若與和相似，那么必為直角三角形，且 由于 所以這三個相似三角形的對應關系是 根據相似三角形得到的比例線段求出的值，進而可確定點P的坐標，求出拋物線和直線的解析式；可設點的橫坐標為，根據直線和拋物線的解析式，求出 的縱坐標，進而可得到關于的長與的函數關系式，根據函數的性質即可求出的最大值及對應的點坐標；設與直線的交點為，根據點的坐標和直線的解析式即可求出點的坐標，也就能得到的長，以為底， 橫坐標差的絕對值為高，可求出的面積，進而可根據四邊形的面積求出五邊形的面積，由此可求出它們的比例關系式．

試題解析：（1）

∴S△OPQ＝ (8－t)·t＝－t2＋t（0＜t＜8）.

（2）∵S四邊形OPBQ＝S矩形ABCD－S△PAB－S△CBQ.

＝8×－×t－×8×(－t)＝.

∴四邊形OPBQ的面積為一個定值，且等于.

（3）當△OPQ與△PAB和△QPB相似時，△QPB必須是一個直角三角形，依題意只能是∠QPB＝90°.

又∵BQ與AO不平行，∴∠QPO不可能等于∠PQB，∠APB不可能等于∠PBQ.

∴根據相似三角形的對應關系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP.

∴＝，即＝，解得：t＝4.

經檢驗：t＝4是方程的解且符合題意（從邊長關系和速度考慮）此時P（，0）.

∵B（，8）且拋物線y＝x2＋bx＋c經過B、P兩點,

∴拋物線是y＝x2－x＋8，直線BP是y＝x－8.

設M（m， m－8），則N（m， m2－m＋8）.

∵M是BP上的動點，∴≤m≤.

∵y1＝x2－x＋8＝ ( x－)2.

∴拋物線的頂點是P（，0）.

又y1＝x2－x＋8與y2＝x－8交于P、B兩點,

∴當≤m≤時，y2＞y1.

∴|MN |＝|y2－y1|＝y2－y1＝(m－8)－(m2－m＋8).

＝－m2＋m－16＝－ (m－)2＋2.

∴當m＝時，MN有最大值是2，此時M（，4）.

設MN與BQ交于H點，則H（，7）.

∴S△BHM＝×3×＝.

∴S△BHM：S五邊形QOPMH ＝:(－)＝3:29.

∴當線段MN的長取最大值時，直線MN把四邊形OPBQ分成兩部分的面積之比為3:29 .