Question

【題目】如圖，BN是等腰Rt△ABC的外角∠CBM內部的一條射線，∠ABC=90°，AB=CB，點C關于BN的對稱點為D，連接AD，BD，CD，其中CD,AD分別交射線BN于點E，P．

(1)依題意補全圖形；

(2)若∠CBN=，求∠BDA的大小（用含的式子表示）；

(3)用等式表示線段PB，PA與PE之間的數量關系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）補圖見解析；（2）45°－；（3）PA=（PB+PE）..

【解析】

此題涉及的知識點是對稱點的畫法，角大小的求解，數量關系的證明，解答時第一問根據已知條件直接畫圖，連線；第二問根據對稱圖形性質可以算出角的大小；第三問證明兩三角形全等就可以得到線段之間的關系。

解：(1) 如圖所示：

(2)∵∠ABC=90°

∴∠MBC=∠ABC=90°

∵點C關于BN的對稱點為D

∴BC=BD，∠CBN=∠DBN=

∵AB=BC

∴AB=BD

∴∠BAD=∠ADB==45°－

(3)猜想：

證明：

過點B作BQ⊥BE交AD于Q

∵∠BPA=∠DBN+∠ADB，∠ADB=45°－，∠DBN=

∴∠BPA=∠DPE=45°

∵點C關于BN的對稱點為D

∴BE⊥CD

∴PD=PE，PQ=PB，

∵BQ⊥BE，∠BPA=45°

∴∠BPA=∠BQP=45°

∴∠AQB=∠DPB=135°

又∵AB=BD，∠BAD=∠ADB

∴△AQB≌△BPD（AAS）

∴AQ=PD

∵PA=AQ+PQ

∴