Question

【題目】正方形ABCD的邊長是4，點P是AD邊的中點，點E是正方形邊上的一點．若△PBE是等腰三角形，則腰長為 ．

Answer 1

【答案】2 ，或 ，或
【解析】解：分情況討論：（1）當PB為腰時，若P為頂點，則E點與C點重合，如圖所示：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠C=∠D=90°，
∵P是AD的中點，
∴AP=DP=2，
根據勾股定理得：BP= = =2 ；
若B為頂點，則根據PB=BE′得，E′為CD中點，此時腰長PB=2 ；（2）當PB為底邊時，E在BP的垂直平分線上，與正方形的邊交于兩點，即為點E；①當E在AB上時，如圖2所示：

則BM= BP= ，
∵∠BME=∠A=90°，∠MBE=∠ABP，
∴△BME∽△BAP，
∴ ，即 ，
∴BE= ；②當E在CD上時，如圖3所示：

設CE=x，則DE=4﹣x，
根據勾股定理得：BE2=BC2+CE2 ， PE2=DP2+DE2 ，
∴42+x2=22+（4﹣x）2 ，
解得：x= ，
∴CE= ，
∴BE= = = ；
綜上所述：腰長為：2 ，或 ，或 ；
故答案為：2 ，或 ，或 ．
分情況討論：（1）當PB為腰時，若P為頂點，則E點和C點重合，求出PB長度即可；若B為頂點，則E點為CD中點；（2）當PB為底時，E在BP的垂直平分線上，與正方形的邊交于兩點，即為點E；①由題意得出BM= BP= ，證明△BME∽△BAP，得出比例式 ，即可求出BE；②設CE=x，則DE=4﹣x，根據勾股定理得出方程求出CE，再由勾股定理求出BE即可．