Question

【題目】已知在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，CE=CD，F為CE的中點，G為CD上的一點，連接DF、EG、AG，并延長AG、BC交于點H，∠DFC=∠EGC．
（1）若CF=2，AE=3，求BE的長；
（2）求證：點G為CD中點；
（3）求證：∠AGE=2∠CEG．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】（1）解：∵CE=CD，點F為CE的中點，CF=2， ∴DC=CE=2CF=4，

∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB=CD=4，

∵AE⊥BC， ∴∠AEB=90°

在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE==；

（2）證明：∵在△DCF和△ECG中， ，

∴△DCF≌△ECG（AAS）， ∴CG=CF，

∵CE=CD，CE=2CF，

∴CD=2CG，

即G為CD中點；

（3）由（2）證得G為CD中點， ∴CG=DG，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，

∴∠ADG=∠HCG，∠DAG=∠H，∴△AGD≌△CHG（AAS）∴ AG=HG，

如圖：取AE的中點M，再連接GM

∵點M，G分別是AE，AH的中點

∴MG∥EH，∴∠EGM=∠CEG，∵BC⊥AE，∴ GM⊥AE

∵ GM⊥AE，AM=EM，∴ AG=EG，

∴ GM平分∠AGE（三線合一）

∴∠AGE=2∠MGE， 又∵∠EGM=∠CEG，

∴∠AGE=2∠CEG．