Question

【題目】已知：點A、C、B不在同一條直線上，AD∥BE
（1）如圖①，當∠A=58°，∠B=118°時，求∠C的度數；

（2）如圖②，AQ、BQ分別為∠DAC、∠EBC的平分線所在直線，試探究∠C與∠AQB的數量關系；

（3）如圖③，在（2）的前提下，且有AC∥QB，QP⊥PB，直接寫出∠DAC：∠ACB：∠CBE的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在圖①中，過點C作CF∥AD，則CF∥BE．

∵CF∥AD∥BE，

∴∠ACF=∠A，∠BCF=180°﹣∠B，

∴∠ACB=∠ACF+∠BCF=180°﹣（∠B﹣∠A）=120°．

（2）解：在圖②中，過點Q作QM∥AD，則QM∥BE．

∵QM∥AD，QM∥BE，

∴∠AQM=∠NAD，∠BQM=∠EBQ．

∵AQ平分∠CAD，BQ平分∠CBE，

∴∠NAD= ∠CAD，∠EBQ= ∠CBE，

∴∠AQB=∠BQM﹣∠AQM= （∠CBE﹣∠CAD）．

∵∠C=180°﹣（∠CBE﹣∠CAD）=180°﹣2∠AQB，

∴2∠AQB+∠C=180°．

（3）解：∵AC∥QB，

∴∠AQB=∠CAP= ∠CAD，∠ACP=∠PBQ= ∠CBE，

∴∠ACB=180°﹣∠ACP=180°﹣ ∠CBE．

∵2∠AQB+∠ACB=180°，

∴∠CAD= ∠CBE．

又∵QP⊥PB，

∴∠CAP+∠ACP=90°，即∠CAD+∠CBE=180°，

∴∠CAD=60°，∠CBE=120°，

∴∠ACB=180°﹣（∠CBE﹣∠CAD）=120°，

∴∠DAC：∠ACB：∠CBE=60°：120°：120°=1：2：2．

【解析】（1）過點C作CF∥AD，依據平行公理的推論可知CF∥BE，接下來，根據平行線的性質可得出∠ACF=∠A、∠BCF=180°-∠B，將其代入∠ACB=∠ACF+∠BCF即可求出∠ACB的度數；
（2）過點Q作QM∥AD，依據平行公理的推論可知QM∥BE，接下來，根據平行線的性質、角平分線的定義可得出∠AQB=（∠CBE-∠CAD），結合（1）的結論可得出2∠AQB+∠C=180°；
（3）由（2）的結論可得出∠CAD=∠CBE①，由QP⊥PB可得出∠CAD+∠CBE=180°②，聯立①②可求出∠CAD、∠CBE的度數，再結合（1）的結論可得出∠ACB的度數，將其代入∠DAC：∠ACB：∠CBE中可求出結論．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用平行線的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補．