Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，AB是直徑，⊙O的切線PC交BA的延長線于點P，OF∥BC交AC于點E，交PC于點F，連結AF．

(1)判斷AF與⊙O的位置關系并說明理由；

(2)若AC＝24，AF＝15，求sinB．

Answer 1

【答案】(1) AF與⊙O相切 理由見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）連接OC，先證∠OCF=90°，再證明△OAF≌△OCF，得出∠OAF=∠OCF=90°即可；

（2）先求出AE、EF，再證明△OAE∽△AFE，得出比例式，可求出半徑，進而求出直徑，由三角函數的定義即可得出結論．

試題解析：解：（1）AF與⊙O相切．理由如下：

連接OC．如圖所示．∵PC是⊙O的切線，∴OC⊥PC，∴∠OCF=90°．∵OF∥BC，∴∠B=∠AOF，∠OCB=∠COF．∵OB=OC，∴∠B=∠OCB，∴∠AOF=∠COF．在△OAF和△OCF中，∵OA=OC，∠AOF=∠COF，OF=OF，∴△OAF≌△OCF（SAS），∴∠OAF=∠OCF=90°，∴AF與⊙O相切；

（2）∵△OAF≌△OCF，∴∠OAE=∠COE，∴OE⊥AC，AE=AC=12，∴EF=．∵∠OAF=90°，∴△OAE∽△AFE，∴，即，∴OA=20，∴AB=40，sinB=．