Question

【題目】如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，點O為斜邊AB的中點，點D、E分別在直角邊AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于點P，則下列結論：

①圖中全等三角形有三對；②△ABC的面積等于四邊形CDOE面積的倍；③DE2+2CDCE=2OA2；④AD2+BE2=2OPOC．正確的有（　　）個．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】

結論（1）正確．因為圖中全等的三角形有3對；

結論（2）錯誤．由全等三角形的性質可以判斷；

結論（3）正確．利用全等三角形和等腰直角三角形的性質可以判斷．

結論（4）正確．利用相似三角形、全等三角形、等腰直角三角形和勾股定理進行判斷．

結論（1）正確，理由如下：

圖中全等的三角形有3對，分別為△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE．

由等腰直角三角形的性質，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC．

∵OC⊥AB，OD⊥OE，∴∠AOD=∠COE．

在△AOD與△COE中，

∴△AOD≌△COE（ASA），

同理可證：△COD≌△BOE．

結論（2）錯誤．理由如下：

∵△AOD≌△COE，

∴S△AOD=S△COE，

∴S四邊形CDOE=S△COD+S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC=S△ABC

即△ABC的面積等于四邊形CDOE的面積的2倍．

結論（3）正確，理由如下：

∵△AOD≌△COE，

∴CE=AD，

∴CD+CE=CD+AD=AC=OA，

∴（CD+CE）2=CD2+CE2+2CDCE=DE2+2CDCE=2OA2；

結論（4）正確，理由如下：

∵△AOD≌△COE，∴AD=CE；∵△COD≌△BOE，∴BE=CD．

在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+CE2=DE2，∴AD2+BE2=DE2．

∵△AOD≌△COE，∴OD=OE，

又∵OD⊥OE，∴△DOE為等腰直角三角形，∴DE2=2OE2，∠DEO=45°．

∵∠DEO=∠OCE=45°，∠COE=∠COE，

∴△OEP∽△OCE，

∴，

即OPOC=OE2．

∴DE2=2OE2=2OPOC，

∴AD2+BE2=2OPOC．

綜上所述，正確的結論有3個，

故選C．