Question

【題目】如圖，四邊形為一個矩形紙片，，，動點自點出發沿方向運動至點后停止.以直線為軸翻折，點落到點的位置.設，與原紙片重疊部分的面積為.

（1）當為何值時，直線過點？

（2）當為何值時，直線過的中點？

（3）求出與的函數關系式.

Answer 1

【答案】（1）當x=時，直線AD1過點C（2）當x=時，直線AD1過BC的中點E（3）當0＜x≤2時，y=x；當2＜x≤3時，y=

【解析】

試題分析：（1）根據折疊得出AD=AD1=2，PD=PD1=x，∠D=∠AD1P=90°，在Rt△ABC中，根據勾股定理求出AC，在Rt△PCD1中，根據勾股定理得出方程，求出即可；

（2）連接PE，求出BE=CE=1，在Rt△ABE中，根據勾股定理求出AE，求出AD1=AD=2，PD=PD1=x，D1E=﹣2，PC=3﹣x，在Rt△PD1E和Rt△PCE中，根據勾股定理得出方程，求出即可；

（3）分為兩種情況：當0＜x≤2時，y=x；當2＜x≤3時，點D1在矩形ABCD的外部，PD1交AB于F，求出AF=PF，作PG⊥AB于G，設PF=AF=a，在Rt△PFG中，由勾股定理得出方程（x﹣a）2+22=a2，求出a即可．

試題解析：

（1）

如圖1，∵由題意得：△ADP≌△AD1P，

∴AD=AD1=2，PD=PD1=x，∠D=∠AD1P=90°，

∵直線AD1過C，

∴PD1⊥AC，

在Rt△ABC中，AC=，CD1=﹣2，

在Rt△PCD1中，PC2=PD12+CD12，

即（3﹣x）2=x2+（﹣2）2，

解得：x=，

∴當x=時，直線AD1過點C；

（2）如圖2，

連接PE，

∵E為BC的中點，

∴BE=CE=1，

在Rt△ABE中，AE==，

∵AD1=AD=2，PD=PD1=x，

∴D1E=﹣2，PC=3﹣x，

在Rt△PD1E和Rt△PCE中，

x2+（﹣2）2=（3﹣x）2+12，

解得：x=，

∴當x=時，直線AD1過BC的中點E；

（3）如圖3，

當0＜x≤2時，y=x，

如圖4，

當2＜x≤3時，點D1在矩形ABCD的外部，PD1交AB于F，

∵AB∥CD，

∴∠1=∠2，

∵∠1=∠3（根據折疊），

∴∠2=∠3，

∴AF=PF，

作PG⊥AB于G，

設PF=AF=a，

由題意得：AG=DP=x，FG=x﹣a，

在Rt△PFG中，由勾股定理得：（x﹣a）2+22=a2，

解得：a=，

所以y==，

綜合上述，當0＜x≤2時，y=x；當2＜x≤3時，y=．