Question

【題目】如圖，A是半徑為6cm的⊙O上的定點，動點P從A出發，以πcm/s的速度沿圓周按順時針方向運動，當點P回到A時立即停止運動．設點P運動時間為t（s）;

（1）當t=6s時，∠POA的度數是________；

（2）當t為多少時，∠POA=120°；

（3）如果點B是OA延長線上的一點，且AB=AO，問t為多少時，△POB為直角三角形？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）180；當點P運動的時間t為4s或8s時，∠POA=120°；（3）當點P運動的時間為2s或3s或9s或10s時，△POB為直角三角形．

【解析】

（1）先根據路程=速度×時間得出當t=6s時，點P運動的路程即弧AP的長度，再根據弧長公式即可求出∠POA的度數；

（2）當∠POA=120°時，點P運動的路程為⊙O周長的或，所以分兩種情況進行分析；

（3）△POB為直角三角形時，由于動點P沿圓周運動，所以以B為頂點的角不可能為直角，那么分∠POB=90°，∠OPB=90°兩種情況進行分析．

解：（1）設∠POA=n°，則

=6π=，

∴n=180．

即∠POA的度數是180．

故答案為180；

（2）當∠POA=120°時，如圖，點P運動的路程為⊙O周長的（圖中P1處）或（圖中P2處），

設點P運動的時間為ts．

當點P運動的路程為⊙O周長的時，πt=2π6，

解得t=4；

當點P運動的路程為⊙O周長的時，πt=2π6，

解得t=8；

∴當點P運動的時間t為4s或8s時，∠POA=120°；

（3）分兩種情況：

①當∠POB=90°時，如圖，點P運動的路程為⊙O周長的（圖中P1處）或（圖中P2處），

設點P運動的時間為ts．

當點P運動的路程為⊙O周長的時，πt=2π6，

解得t=3；

當點P運動的路程為⊙O周長的時，πt=2π6，

解得t=9．

∴當點P運動的時間為3s或9s時，△POB為直角三角形；

②當∠OPB=90°時，如圖，（圖中P3處）或（圖中P4處），

設點P運動的時間為ts．

當點P運動P3處時，連接AP3．

∵∠OP3B=90°，OA=AB，

∴AP3=OA=OP3，

∴△OAP3是等邊三角形，

∴∠AOP3=60°，

∴πt=2π6，

解得t=2；

當點P運動P4處時，連接AP4．

∵∠OP4B=90°，OA=AB，

∴AP4=OA=OP4，

∴△OAP4是等邊三角形，

∴∠AOP4=60°，

∴πt=（1﹣）2π6，

解得t=10．

∴當點P運動的時間為2s或10s時，△POB為直角三角形．

綜上可知，當點P運動的時間為2s或3s或9s或10s時，△POB為直角三角形．