Question

【題目】已知拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A（1，0），B（3，0），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設點P在該拋物線上滑動，則滿足S△PAB=1的點P有幾個？求出所有點P的坐標；
（3）在該拋物線的對稱軸上存在點M，使得△MAC的周長最小，求出這個點M的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：將點A（1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c中，

得： ，解得： ，

∴該拋物線的解析式為y=﹣x2+4x﹣3

（2）解：設點P的坐標為（x，y）．

∵AB=2，S△PAB= AB|y|=1，

∴y=±1．

當y=1時，有1=﹣x2+4x﹣3，即x2﹣4x+4=（x﹣2）2=0，

解得：x1=x2=2；

當y=﹣1時，有﹣1=﹣x2+4x﹣3，即x2﹣4x+2=0，

解得：x3=2﹣ ，x4=2+ ．

∴滿足條件的點P有三個坐標分別為（2，1），（2+ ，﹣1），（2﹣ ，﹣1）

（3）解：假設存在．

過點C作拋物線的對稱軸的對稱點C′，連接AC′交拋物線對稱軸于點M，連接MC，任取拋物線對稱軸上除M外的任意一點N，連接NA，NC、NC′，如圖所示．

∵NA+NC=NA+NC′＞AC′=MA+MC′=MA+MC，

∴當點A、M、C′三點共線時，△MAC的周長最小．

∵拋物線的解析式為y=﹣x2+4x﹣3，

∴點C的坐標為（0，﹣3），拋物線的對稱軸為x=﹣ =2，

∴C′（4，﹣3）．

設直線AC′的解析式為y=mx+n，

∵點A（1，0）、C′（4，﹣3）在直線AC′上，

∴ ，解得： ，

∴直線AC′的解析式為y=﹣x+1．

聯立直線AC′的解析式和拋物線的對稱軸成方程組： ，

解得： ．

∴直線AC′與對稱軸x=2的交點為（2，﹣1），即M（2，﹣1），

∴存在點M（2，﹣1），可使△AMC的周長最小

【解析】（1）結合點A、B的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；（2）設點P的坐標為（x，y）．結合三角形的面積公式求出y=±1，將其代入拋物線解析式中求出x值，由此即可得出結論；（3）假設存在，過點C作拋物線的對稱軸的對稱點C′，連接AC′交拋物線對稱軸于點M，連接MC，任取拋物線對稱軸上除M外的任意一點N，連接NA，NC、NC′，利用三角形兩邊之和大于第三邊得出點A、M、C′三點共線時，△MAC的周長最小．由拋物線的解析式找出點C的坐標以及拋物線的對稱軸，利用對稱的性質找出點C′的坐標，結合點A、C′的坐標利用待定系數法求出直線AC′的解析式，再聯立直線AC′的解析式與拋物線的對稱軸成方程組，解方程組即可求出點M的坐標．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用拋物線與坐標軸的交點的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．