Question

【題目】在數學興趣小組活動中，小明進行數學探究活動．將邊長為2的正方形ABCD與邊長為3的正方形AEFG按圖1位置放置，AD與AE在同一條直線上，AB與AG在同一條直線上．

（1）小明發現，請你幫他說明理由．

（2）如圖2，小明將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉，當點B恰好落在線段DG上時，請你幫他求出此時△ADG的面積．

（3）如圖3，若小明將正方形ABCD繞點A繼續逆時針旋轉，順次連接BD、DE、EG、GB，請你直接寫出四邊形BDEG面積的最大值 ．

Answer 1

【答案】（1）理由見解析；（2）1+；（3）．

【解析】

試題分析：（1）利用正方形得到條件，判斷出△ADG≌△ABE從而∠AEB+∠ADG=90°，即可；

（2）利用正方形的性質在Rt△AMD中，∠MDA=45°，AD=2從而得出AM=DM=，在Rt△AMG中，AM2+GM2=AG2從而得出GM=即可；

（3）利用旋轉，設旋轉角為α，在Rt△AIB中，BI=ABsinα，在Rt△AHD中，DH=ADsinα，從而S四邊形BDEG用sinα，即可．

試題解析：（1）如圖1，延長EB交DG于點H

∵四邊形ABCD與四邊形AEFG是正方形

∴AD=AB，∠DAG=∠BAE=90°，AG=AE

∴△ADG≌△ABE（SAS）

∴∠AGD=∠AEB

∵△ADG中∠AGD+∠ADG=90°

∴∠AEB+∠ADG=90°

∵△DEH中，∠AEB+∠ADG+∠DHE=180°

∴∠DHE=90°

∴DG⊥BE．

（2）如圖2，過點A作AM⊥DG交DG于點M，

∠AMD=∠AMG=90°

∵BD是正方形ABCD的對角

∴∠MDA=45°

在Rt△AMD中，

∵∠MDA=45°，AD=2

∴AM=DM=在Rt△AMG中，

∵AM2+GM2=AG2

∴GM=

∵DG=DM+GM=+

∴S△ADG=DGAM=（+）×=1+

（3）如圖3，

作DH⊥AE交EA的延長線與H，作BI⊥AG，

∵四邊形ABCD是邊長為2的正方形，

∴AB=AD=2，

設旋轉角為α，

∴∠BIG=α，∠HAD=α，

在Rt△AIB中，BI=ABsinα，

在Rt△AHD中，DH=ADsinα，

∵四邊形AEFG是邊長為3的正方形，

∴AG=AE=3，

∴S/span>四邊形BDEG=S△ABG+S△ABD+S△ADE+S△AEG

=S△ABD+S△AEG+S△ABG+S△ADE

=AB×AD+AG×AE+×AG×BI+AE×DH

=AB×AD+AG×AE+×AG×ABsinα+AE×ADsinα

=×2×2+×3×3+×3×2sinα+×3×2sinα

=+6sinα

當sinα=1時，S四邊形BDEG最大，S四邊形BDEG最大=．