Question

【題目】如圖，ABCD中，M、N是BD的三等分點(diǎn)，連接CM并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E，連接EN并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F，以下結(jié)論：
①E為AB的中點(diǎn)；
②FC=4DF；
③S△ECF= ；
④當(dāng)CE⊥BD時(shí)，△DFN是等腰三角形．
其中一定正確的是 ．

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：∵M(jìn)、N是BD的三等分點(diǎn)，

∴DN=NM=BM，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∴△BEM∽△CDM，

∴ ，

∴BE= CD，

∴BE= AB，故①正確；

∵AB∥CD，

∴△DFN∽△BEN，

∴ = ，

∴DF= BE，

∴DF= AB= CD，

∴CF=3DF，故②錯(cuò)誤；

∵BM=MN，CM=2EM，

∴S△BEM=S△EMN= S△CBE，

∵BE= CD，CF= CD，

∴ = ，

∴S△EFC= S△CBE= S△MNE，

∴S△ECF= ，故③正確；

∵BM=NM，EM⊥BD，

∴EB=EN，

∴∠ENB=∠EBN，

∵CD∥AB，

∴∠ABN=∠CDB，

∵∠DNF=∠BNE，

∴∠CDN=∠DNF，

∴△DFN是等腰三角形，故④正確；

所以答案是：①③④．

【考點(diǎn)精析】掌握平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道平行四邊形的對(duì)邊相等且平行；平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；平行四邊形的對(duì)角線互相平分；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．