Question

【題目】【問題背景】

在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF=60°，試探究圖1中線段BE、EF、FD之間的數量關系．

【初步探索】

小亮同學認為：延長FD到點G，使DG=BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，則可得到 BE、EF、FD之間的數量關系是 ．

【探索延伸】

在四邊形ABCD中如圖2，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是BC、CD上的點，∠EAF=∠BAD，上述結論是否任然成立？說明理由．

【結論運用】

如圖3，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E，F處，且兩艦艇之間的夾角（∠EOF）為70°，試求此時兩艦艇之間的距離．

Answer 1

【答案】初步探索：EF=BE+FD；

探索延伸：結論仍然成立，理由見解析；

結論運用：此時兩艦艇之間的距離是210海里．

【解析】

試題分析：探索延伸：延長FD到G，使DG=BE，連接AG，證明△ABE≌△ADG和△AEF≌△GAF，得到答案；

結論運用：連接EF，延長AE、BF交于點C，得到EF=AE+BF，根據距離、速度和時間的關系計算即可．

解：初步探索：EF=BE+FD，

故答案為：EF=BE+FD，

探索延伸：結論仍然成立，

證明：如圖2，延長FD到G，使DG=BE，連接AG，

∵∠B+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°

∴∠B=∠ADG，

在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG，

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，

∵∠EAF=∠BAD，

∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，

∴∠EAF=∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

，

∴△AEF≌△GAF，

∴EF=FG，

∴FG=DG+FD=BE+DF；

結論運用：解：如圖3，連接EF，延長AE、BF交于點C，

∵∠AOB=30°+90°+（90°﹣70°）=140°，

∠EOF=70°，

∴∠EOF=∠AOB，

∵OA=OB，

∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°，

∴符合探索延伸中的條件

∴結論EF=AE+BF成立，

即EF=1.5×（60+80）=210海里，

答：此時兩艦艇之間的距離是210海里．