Question

【題目】在正方形ABCD中，E，F分別為BC，CD的中點，AE與BF相交于點G．

（1）如圖1，求證：AE⊥BF；
（2）如圖2，將△BCF沿BF折疊，得到△BPF，延長FP交BA的延長線于點Q，若AB=4，求QF的值

Answer 1

【答案】
（1）證明：

∵E，F分別是正方形ABCD邊BC，CD的中點，

∴CF=BE，

在△ABE和△BCF中，

∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），

∴∠BAE=∠CBF，

又∵∠BAE+∠BEA=90°，

∴∠CBF+∠BEA=90°，

∴∠BGE=90°，

∴AE⊥BF；

（2）解：

∵將△BCF沿BF折疊，得到△BPF，

∴FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°，

∵CD∥AB，

∴∠CFB=∠ABF，

∴∠ABF=∠PFB，

∴QF=QB，

設QF=x，PB=BC=AB=4，CF=PF=2，

∴QB=x，PQ=x﹣2，

在Rt△BPQ中，

∴x2=（x﹣2）2+42，

解得：x=5，

即QF=5．

【解析】（1）首先依據正方形的性質可得到∠ABE=∠BCF，BC=CD，然后再依據中點的定義得到CF=BE，接下來，由SAS可證明△ABE≌△BCF，再利用角的關系求得∠BGE=90°，即可證明AE⊥BF；
（2）由折疊的性質可得到FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90，然后再依據等角對等邊的性質可得到QF=QB，設QF=x，在Rt△BPQ中，利用勾股定理可建立關于x的方程解方程求出x的值即可.
【考點精析】本題主要考查了正方形的性質和翻折變換（折疊問題）的相關知識點，需要掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形；折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等才能正確解答此題．