Question

根據以下10個乘積，回答問題：
11×29；  12×28；   13×27；   14×26；   15×25；
16×24；  17×23；   18×22；   19×21；   20×20．
（1）試將以上各乘積分別寫成一個“□²-○²”（兩數平方差）的形式，并寫出其中一個的思考過程；
（2）將以上10個乘積按照從小到大的順序排列起來；
（3）試由（1）、（2）猜測一個一般性的結論．（不要求證明）

Answer 1

分析：（1）根據要求求出兩數的平均數，再寫成平方差的形式即可．
（2）減去的數越大，乘積就越小，據此規律填寫即可．
（3）根據排列的順序可得，兩數相差越大，積越�。�

解答：解：（1）11×29=20²-9²；12×28=20²-8²；13×27=20²-7²；
14×26=20²-6²；15×25=20²-5²；16×24=20²-4²；
17×23=20²-3²；18×22=20²-2²；19×21=20²-1²；
20×20=20²-0²    …（4分）
例如，11×29；假設11×29=□²-○²，
因為□²-○²=（□+○）（□-○）；
所以，可以令□-○=11，□+○=29．
解得，□=20，○=9．故11×29=20²-9²．
（或11×29=（20-9）（20+9）=20²-9²

（2）這10個乘積按照從小到大的順序依次是：11×29＜12×28＜13×27＜14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21＜20×20

（3）①若a+b=40，a，b是自然數，則ab≤20²=400．
②若a+b=40，則ab≤20²=400．     …（8分）
③若a+b=m，a，b是自然數，則ab≤(

m

2

)2．
④若a+b=m，則ab≤(

m

2

)2．
⑤若a，b的和為定值，則ab的最大值為(

a+b

2

)2．
⑥若a₁+b₁=a₂+b₂=a₃+b₃=…=a_n+b_n=40．且
|a₁-b₁|≥|a₂-b₂|≥|a₃-b₃|≥…≥|a_n-b_n|，
則 a₁b₁≤a₂b₂≤a₃b₃≤…≤a_nb_n．       …（10分）
⑦若a₁+b₁=a₂+b₂=a₃+b₃=…=a_n+b_n=m．且
|a₁-b₁|≥|a₂-b₂|≥|a₃-b₃|≥…≥|a_n-b_n|，
則a₁b₁≤a₂b₂≤a₃b₃≤…≤a_nb_n．
⑧若a+b=m，
a，b差的絕對值越大，則它們的積就越�。�
說明：給出結論①或②之一的得（1分）；給出結論③、④或⑤之一的得（2分）；
給出結論⑥、⑦或⑧之一的得（3分）．

點評：本題主要考查整式的混合運算，找出規律是解答本題的關鍵．