Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC外角的平分線，已知∠BAC=∠ACD．

（1）求證：△ABC≌△CDA；

（2）若∠B=60°，求證：四邊形ABCD是菱形．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）求出∠B=∠ACB，根據三角形外角性質求出∠FAC=2∠ACB=2∠DAC，推出∠DAC=∠ACB，根據ASA證明△ABC和△CDA全等；

（2）推出AD∥BC，AB∥CD，得出平行四邊形ABCD，根據∠B=60°，AB=AC，得出等邊△ABC，推出AB=BC即可．

證明：（1）∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB，

∵∠FAC=∠B+∠ACB=2∠ACB，

∵AD平分∠FAC，

∴∠FAC=2∠CAD，

∴∠CAD=∠ACB，

∵在△ABC和△CDA中

，

∴△ABC≌△CDA（ASA）；

（2）∵∠FAC=2∠ACB，∠FAC=2∠DAC，

∴∠DAC=∠ACB，

∴AD∥BC，

∵∠BAC=∠ACD，

∴AB∥CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵∠B=60°，AB=AC，

∴△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC，

∴平行四邊形ABCD是菱形．