Question

【題目】葡萄在銷售時，要求“葡萄”用雙層上蓋的長方體紙箱封裝（上蓋紙板面積剛好等于底面面積的2倍），如圖

(1)實際運用：如果要求紙箱的高為0.5米，底面是黃金矩形（寬與長的比是黃金比， 取黃金比為0.6），體積為0.3立方米．

①按方案1（如圖）做一個紙箱，需要矩形硬紙板A1B1C1D1的面積是多少平方米？

②小明認為，如果從節省材料的角度考慮，采用方案2（如圖）的菱形硬紙板A2B2C2D2 做一個紙箱比方案1更優，你認為呢？請說明理由．

（2）拓展思維：水果商打算在產地購進一批“葡萄”，但他感覺（1）中的紙箱體積太大，搬運吃力，要求將紙箱的底面周長、底面面積和高都設計為原來的一半，你認為水果商的要求能辦到嗎？請利用函數圖象驗證．

Answer 1

【答案】解：（1）①∵紙箱的高為0.5米，底面是黃金矩形（寬與長的比是黃金比，取黃金比為0.6），體積為0.3立方米，

∴假設底面長為x，寬就為0.6x，

∴體積為：0.6xx0.5=0.3，

解得：x=1，

∴AD=1，CD=0.6，

DW=KA=DT=JC=0.5，FT=JH=CD=0.3，

WQ=MK=AD=，

∴QM=+0.5+1+0.5+=3，

FH=0.3+0.5+0.6+0.5+0.3=2.2，

∴矩形硬紙板A1B1C1D1的面積是3×2.2=6.6平方米；

②從節省材料的角度考慮，采用方案2（如圖）的菱形硬紙板A2B2C2D2做一個紙箱比方案1更優，

∵如圖可知△MAE，△NBG，△HCF，△FDQ面積相等，且和為2個矩形FDQD1，

又∵菱形的性質得出，對角線乘積的一半絕對小于矩形邊長乘積；

∴從節省材料的角度考慮，采用方案2（如圖）的菱形硬紙板A2B2C2D2做一個紙箱比方案1更優，

（2）∵將紙箱的底面周長、底面面積和高都設計為原來的一半時，

∴邊長為：0.5，0.3，底面積將變為：0.3×0.5=0.15，將變為原來的，高再變為原來的一半時，體積將變為原來的，

∴水果商的要求不能辦到．

【解析】試題分析：（1）①利用寬與長的比是黃金比，取黃金比為0.6，假設底面長為x，寬就為0.6x，再利用圖形得出QM=0.5+0.5+1+0.5+0.5=3，FH=0.3+0.5+0.6+0.5+0.3=2.2，進而求出即可；
②根據菱形的性質得出，對角線乘積的一半絕對小于矩形邊長乘積即可得出答案；
（2）根據相似三角形的性質面積比等于相似比的平方得出即可．

試題解析：

解：（1）①∵紙箱的高為0.5米，底面是黃金矩形（寬與長的比是黃金比，取黃金比為0.6），體積為0.3立方米，

∴假設底面長為x，寬就為0.6x，

∴體積為：0.6xx0.5=0.3，解得：x=1，

∴AD=1，CD=0.6，DW=KA=DT=JC=0.5，FT=JH=CD=0.3，

WQ=MK=AD=，

∴QM=+0.5+1+0.5+=3，

FH=0.3+0.5+0.6+0.5+0.3=2.2，

∴矩形硬紙板A1B1C1D1的面積是3×2.2=6.6平方米；

②從節省材料的角度考慮，采用方案2（如圖）的菱形硬紙板A2B2C2D2做一個紙箱比方案1更優，

∵如圖可知△MAE，△NBG，△HCF，△FDQ面積相等，且和為2個矩形FDQD1，

又∵菱形的性質得出，對角線乘積的一半絕對小于矩形邊長乘積；

∴從節省材料的角度考慮，采用方案2（如圖）的菱形硬紙板A2B2C2D2做一個紙箱比方案1更優，

（2）∵將紙箱的底面周長、底面面積和高都設計為原來的一半時，

∴邊長為：0.5，0.3，底面積將變為：0.3×0.5=0.15，將變為原來的，高再變為原來的一半時，體積將變為原來的，

∴水果商的要求不能辦到．