Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=2，點M在BC上，連接AM，作∠AMN=∠AMB，點N在直線AD上，MN交CD于點E

（1）求證：△AMN是等腰三角形；

（2）求BMAN的最大值；

（3）當M為BC中點時，求ME的長．

Answer 1

【答案】(1)證明詳見解析；(2) ；(3) ．

【解析】

試題分析：（1）根據矩形的性質和平行線的性質證明即可；

（2）作NH⊥AM于H，證明△NAH∽△AMB，根據相似三角形的性質得到ANBM=，根據勾股定理計算即可；

（3）由（2）的結論，結合相似三角形的性質求出CE，根據勾股定理計算即可．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠NAM=∠BMA，又∠AMN=∠AMB，

∴∠AMN=∠NAM，

∴AN=MN，即△AMN是等腰三角形；

（2）如圖，作NH⊥AM于H，

∵AN=MN，NH⊥AM，

∴AH=AM，

∵∠NHA=∠ABM=90°，∠AMN=∠AMB，

∴△NAH∽△AMB，

∴，

∴ANBM=AHAM=，

在Rt△AMB中，，

∵BM≤2，

∴9+≤13，

∴ANBM≤，

即當BM=2時，BMAN的最大值為；

（3）解：∵M為BC中點，

∴BM=CM=BC=1，

由（2）得，ANBM=，

∵==10，

∴AN=5，

∴DN=5﹣2=3，

設DE=x，則CE=3﹣x，

∵AN∥BC，

∴，即，

解得，x=，即CE=，

∴CE=，

∴ME==．