Question

【題目】如圖1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四邊形ADEF是正方形，點B、C分別在邊AD、AF上，此時BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）當△ABC繞點A逆時針旋轉θ（0°＜θ＜90°）時，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請證明，若不成立，請說明理由；

（2）當△ABC繞點A逆時針旋轉45°時，如圖3，延長BD交CF于點H．

①求證：BD⊥CF；

②當AB=2，AD=時，求線段DH的長．

Answer 1

【答案】（1）BD=CF；（2）①證明見解析；②．

【解析】分析：（1）根據旋轉變換的性質和全等三角形的判定定理證明△CAF≌△BAD，證明結論；

（2）①根據全等三角形的性質、垂直的定義證明即可；

②連接DF，延長AB交DF于M，根據題意和等腰直角三角形的性質求出DM、BM的長，根據勾股定理求出BD的長，根據相似三角形的性質列出比例式，計算即可得到答案．

（1）BD=CF．

理由如下：由題意得，∠CAF=∠BAD=θ，在△CAF和△BAD中，∵CA=BA，∠CAF=∠BAD，FA=DA，∴△CAF≌△BAD，∴BD=CF；

（2）①由（1）得△CAF≌△BAD，∴∠CFA=∠BDA，∵∠FNH=∠DNA，∠DNA+∠NAD=90°，∴∠CFA+∠FNH=90°，∴∠FHN=90°，即BD⊥CF；

②連接DF，延長AB交DF于M，∵四邊形ADEF是正方形，AD=，AB=2，∴AM=DM=3，BM=AM﹣AB=1，∵△ABC繞點A逆時針旋轉45°，∴∠BAD=45°，∴AM⊥DF，∴DB==，∵∠MAD=∠MDA=45°，∴∠AMD=90°，又∠DHF=90°，∠MDB=∠HDF，∴△DMB∽△DHF，∴，即，解得，DH=．