Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，已知A（﹣1，0），且tan∠ABC=.

（1）求拋物線的解折式．

（2）在直線BC下方拋物線上一點P，當四邊形OCPB的面積取得最大值時，求此時點P的坐標．

（3）在y軸的左側拋物線上有一點M，滿足∠MBA=∠ABC，若點N是直線BC上一點，當△MNB為等腰三角形時，求點N的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解折式為y=x2﹣x﹣2；

（2）P點的坐標為（，﹣）；

（3）點N的坐標為（﹣2，﹣ ）或（8， ）或（﹣，﹣）或（﹣，﹣）．

【解析】試題分析：（1）由解析式求得C的坐標，然后根據tan∠ABC=求得OB=3，從而求得B的坐標，進而根據待定系數法即可求得解析式；

（2）過點P作y軸的平行線與BC交于點Q，與OB交于點E，設P（x，x2﹣2x﹣3），易得，直線BC的解析式為y=x﹣3則Q點的坐標為（x，x﹣3），再根據S四邊形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ即可得出結論．

（3）根據題意求得M的坐標，然后分三種情況討論求得即可．

解：（1）由拋物線y=ax2+bx﹣2可知C的坐標為（0，﹣2），

∴OC=2，

∵tan∠ABC==

∴OB=3，

∴B（3，0），

∵A（﹣1，0），

把A、B的坐標代入y=ax2+bx﹣2得：

解得，

∴拋物線的解折式為y=x2﹣x﹣2；

（2）過點P作y軸的平行線與BC交于點Q，與OB交于點E，

設P（x，x2﹣x﹣2），

設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），

∵B（3，0），C（0，﹣2），

∴，

解得，

∴直線BC的解析式為y=x﹣2．

∴Q點的坐標為（x，x﹣2），

∴S四邊形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ

=ABOC+QPOE+QPEB

=×4×2+（2x﹣x2）×3

=﹣x2+3x+4

=﹣（x﹣）2+，

∴當x=時，四邊形ABPC的面積最大，最大面積為．此時P點的坐標為（，﹣）．

（3）設直線AM交y軸于D，

∵∠MBA=∠ABC，

∴OD=OC=2，

∴D（0，2），

設直線AM的解析式為y=mx+2，

代入B（3，0）得0=3m+2，解得m=﹣，

∴直線AM的解析式為y=﹣x+2，

解得或，

∴M（﹣2，），

設N（x，x﹣2），

∵BM2=（3+2）2+（）2，MN2=（x+2）2+（x﹣2﹣）2，BN2=（x﹣3）2+（x﹣2）2，

當MB=BN時，N（﹣2，﹣）或（8，）；

當MB=MN時，則（3+2）2+（）2=（x+2）2+（x﹣2﹣）2，

整理得13x2﹣28x﹣33=0，

解得x1=3，x2=﹣，

∴N（﹣，﹣）；

當BN=MN時，（x+2）2+（x﹣2﹣）2=（x﹣3）2+（x﹣2）2，

整理得10x=﹣35，

解得x=﹣

∴N（﹣，﹣）；

綜上，點N的坐標為（﹣2，﹣）或（8，）或（﹣，﹣）或（﹣，﹣）．