Question

【題目】如圖，已知三角形ABC的邊AB是⊙0的切線，切點為B．AC經過圓心0并與圓相交于點D、C，過C作直線CE丄AB，交AB的延長線于點E．
（1）求證：CB平分∠ACE；
（2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，連接OB，

∵AB是⊙0的切線，

∴OB⊥AB，

∵CE丄AB，

∴OB∥CE，

∴∠1=∠3，

∵OB=OC，

∴∠1=∠2，

∴∠2=∠3，

∴CB平分∠ACE

（2）解：如圖2，連接BD，

∵CE丄AB，

∴∠E=90°，

∴BC= = =5，

∵CD是⊙O的直徑，

∴∠DBC=90°，

∴∠E=∠DBC，

∴△DBC∽△CBE，

∴ ，

∴BC2=CDCE，

∴CD= = ，

∴OC= = ，

∴⊙O的半徑= ．

【解析】（1）證明：如圖1，連接OB，由AB是⊙0的切線，得到OB⊥AB，由于CE丄AB，的OB∥CE，于是得到∠1=∠3，根據等腰三角形的性質得到∠1=∠2，通過等量代換得到結果．（2）如圖2，連接BD通過△DBC∽△CBE，得到比例式 ，列方程可得結果．