Question

【題目】如圖，直線y＝﹣x+4分別交x軸、y軸于A、C兩點，拋物線y＝﹣x2+mx+4經過點A，且與x軸的另一個交點為點B．連接BC，過點C作CD∥x軸交拋物線于點D

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）若點E是拋物線上的點，求滿足∠ECD＝∠BCO的點E的坐標；

（3）點M在y軸上且位于點C上方，點N在直線AC上，點P為第一象限內的拋物線上一點，若以點C、M、N、P為頂點的四邊形是菱形，求菱形的邊長．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）E的坐標為E或；（3）4﹣2或．

【解析】

（1）利用直線方程求得點A、C的坐標，根據點A、C坐標求得拋物線解析式；

（2）分點E在CD上方、點E在CD下方兩種情況，分別求解即可；

（3）分CM為菱形的一條邊、CM為菱形的對角線兩種情況，分別求解即可．

解：（1）y＝﹣x+4，令x＝0，則y＝4，令y＝0，則x＝4，

則點A、C的坐標分別為（4，0）、（0，4），

將點A的坐標代入拋物線的表達式并解得：m＝3，

故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+3x+4①，

令y＝0，則x＝﹣1或4，故點B（﹣1，0）；

（2）①當點E在CD上方時，

tan∠BCO＝，

則直線CE的表達式為：y＝x+4②，

聯立①②并解得：x＝0或（舍去0），

則點E（，）；

②當點E在CD下方時，

同理可得：點E′（，）；

故點E的坐標為E（，）或（，）；

（3）①如圖2，當CM為菱形的一條邊時，

過點P作PQ∥x軸，∵OA＝OC＝4，

∴∠PMQ＝∠CAO＝45°，

設點P（x，﹣x2+3x+4），

則PM＝PQ＝x，

C、M、N、P為頂點的四邊形是菱形，則PM＝PN，

即：x＝﹣x2+3x+4，解得：x＝0或4﹣（舍去0），

故菱形邊長為x＝4﹣2；

②如圖3，當CM為菱形的對角線時，

同理可得：菱形邊長為2；

故：菱形邊長為4﹣2或．