Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E，F分別是邊AB，CD上的點，AE=CF，連接EF，BF；EF與對角線AC交于點O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，FC=2，則AB的長為 ．

Answer 1

【答案】6
【解析】解：如圖，連接BO，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，∠DCB=90°
∴∠FCO=∠EAO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，OA=OC，
∵BF=BE，
∴BO⊥EF，∠BOF=90°，
∵∠FEB=2∠CAB=∠CAB+∠AOE，
∴∠EAO=∠EOA，
∴EA=EO=OF=FC=2，
在RT△BFO和RT△BFC中，
，
∴RT△BFO≌RT△BFC，
∴BO=BC，
在RT△ABC中，∵AO=OC，
∴BO=AO=OC=BC，
∴△BOC是等邊三角形，
∴∠BCO=60°，∠BAC=30°，
∴∠FEB=2∠CAB=60°，∵BE=BF，
∴△BEF是等邊三角形，
∴EB=EF=4，
∴AB=AE+EB=2+4=6．
所以答案是6．

【考點精析】本題主要考查了矩形的性質和相似三角形的判定與性質的相關知識點，需要掌握矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．