Question

【題目】如圖，已知拋物線y=x2+bx+c的圖象與x軸的一個交點為B（5，0），另一個交點為A，且與y軸交于點C（0，5）．

（1）求直線BC與拋物線的解析式；

（2）若點M是拋物線在x軸下方圖象上的一動點，過點M作MN∥y軸交直線BC于點N，求MN的最大值；

（3）若點P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點，以BC為邊作平行四邊形CBPQ，當平行四邊形CBPQ的面積為30時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）直線BC的解析式為y=﹣x+5．拋物線的解析式y=x2﹣6x+5；（2）；（3）點P的坐標為（2，﹣3），（3，﹣4）．

【解析】

試題分析：（1）根據待定系數法，可得函數解析式，

（2）根據平行于y軸直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得二次函數，根據二次函數的性質，可得答案；

（3）根據平行四邊形的面積，可得BD的長，根據等腰直角三角形，可得E點坐標，根據待定系數法，可得PQ的解析式，根據解方程組，可得答案．

試題解析: （1）設直線BC的解析式為y=kx+m，將B（5，0），C（0，5）代入，得，解得．

∴直線BC的解析式為y=﹣x+5．

將B（5，0），C（0，5）代入y=x2+bx+c，得 ，解得．

∴拋物線的解析式y=x2﹣6x+5；

（2）∵點M是拋物線在x軸下方圖象上的動點，

∴設M（m，m2﹣6m+5）．

∵點N是直線BC上與點M橫坐標相同的點，

∴N（m，m+5）．

∵當點M在拋物線在x軸下方時，N的縱坐標總大于M的縱坐標．

∴MN=﹣m+5﹣（m2﹣6m+5）=﹣m2+5m=﹣（m﹣）2+．

∴MN的最大值是．

（3）如圖

，

設平行四邊形CBPQ的邊BC上的高為BD，則BC⊥BD，可求BC=5，

由平行四邊形CBPQ的面積為30可得，BC×BD=30，從而BD=3．

設直線PQ交x軸于E點，

∵BC⊥BD，∠OBC=45°，

∴∠EBD=45°，△EBD為等腰直角三角形，BE=BD=6．

∵B（5，0），

∴E（﹣1，0）．

設直線PQ的解析式為y=﹣x+s，將E點坐標代入函數解析式，得

0=﹣（﹣1）+s，

解得s=﹣1，

從而直線PQ的解析式為y=﹣x﹣1．

聯立直線與拋物線，得，

解得，，

故點P的坐標為（2，﹣3），（3，﹣4）．