Question

【題目】如圖，在⊙O中，直徑AB⊥CD，垂足為E，點M在OC上，AM的延長線交⊙O于點G，交過C的直線于F，∠1=∠2，連結CB與DG交于點N．
（1）求證：CF是⊙O的切線；
（2）求證：△ACM∽△DCN；
（3）若點M是CO的中點，⊙O的半徑為4，cos∠BOC= ，求BN的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△BCO中，BO=CO，

∴∠B=∠BCO，

在Rt△BCE中，∠2+∠B=90°，

又∵∠1=∠2，

∴∠1+∠BCO=90°，

即∠FCO=90°，

∴CF是⊙O的切線

（2）證明：∵AB是⊙O直徑，

∴∠ACB=∠FCO=90°，

∴∠ACB﹣∠BCO=∠FCO﹣∠BCO，

即∠3=∠1，

∴∠3=∠2，

∵∠4=∠D，

∴△ACM∽△DCN

（3）解：∵⊙O的半徑為4，即AO=CO=BO=4，

在Rt△COE中，cos∠BOC= ，

∴OE=COcos∠BOC=4× =1，

由此可得：BE=3，AE=5，由勾股定理可得：

CE= = = ，

AC= = =2 ，

BC= = =2 ，

∵AB是⊙O直徑，AB⊥CD，

∴由垂徑定理得：CD=2CE=2 ，

∵△ACM∽△DCN，

∴ = ，

∵點M是CO的中點，CM= AO= ×4=2，

∴CN= = = ，

∴BN=BC﹣CN=2 ﹣ = ．

【解析】（1）根據切線的判定定理得出∠1+∠BCO=90°，即可得出答案；（2）利用已知得出∠3=∠2，∠4=∠D，再利用相似三角形的判定方法得出即可；（3）根據已知得出OE的長，進而利用勾股定理得出EC，AC，BC的長，即可得出CD，利用（2）中相似三角形的性質得出NB的長即可．