Question

已知OA、OB是⊙O的兩條半徑，且OA⊥BC，C為OB延長線上任意一點，過點C作CD切⊙O于點D，連接AD，交OC過于點E。

（1）求證：CD=CE;
（2）若將圖1中的半徑OB所在的直線向上平行移動，交⊙O于，其他條件不變，如圖2，那么上述結論CD=CE還成立嗎？為什么？

Answer 1

見解析

試題分析：(1)連接OD，則OD⊥CD，∠CDE+∠ODA=90°，在Rt△AOE中，∠AEO+∠A=90°，再由OA=OD根據等邊對等角可得∠A=∠ODA，∠CDE=∠AEO，即可得到結論；
（2）將原來的半徑OB所在直線向上平行移動，可得CF⊥AO于F，在Rt△AFE中，∠A+∠AEF=90°，
連接OD，則∠ODA+∠CDE=90°，再由OA=OD根據等邊對等角可得∠A=∠ODA，∠AEF=∠CDE，即可知結論仍然成立．
（1）△CDE是等腰三角形．理由如下：
連接OD，則OD⊥CD，∠CDE+∠ODA=90°；

在Rt△AOE中，∠AEO+∠A=90°，
在⊙O中，∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA，∠CDE=∠AEO，
又∵∠AEO=∠CED，
∴∠CED=∠CDE，
∴CD=CE，
即△CDE是等腰三角形；
（2）結論仍然成立．理由如下：

∵將原來的半徑OB所在直線向上平行移動，
∴CF⊥AO于F，
在Rt△AFE中，∠A+∠AEF=90°，
連接OD，則∠ODA+∠CDE=90°，且OA=OD，
故可得∠A=∠ODA，∠AEF=∠CDE，
又∵∠AEF=∠CED，
∴∠CED=∠CDE，
∴CD=CE．
故△CDE是等腰三角形．
點評：解答本題的關鍵是掌握好圓的性質，靈活運用等邊對等角，等角對等邊，選擇合適的條件，再結合等量代換等數學方法求解。