Question

【題目】已知△ABC中，∠C是最小的一個內角，過頂點B的一條直線交AC于點D，直線BD將原三角形分割成兩個等腰三角形△ABD和△BCD，△ABD中BD＝AD，請探究∠A與∠C的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】∠A與∠C之間的關系是：4∠A+∠C＝180°或∠A+∠C＝90°，∠C是小于45°的任意角．理由見解析.

【解析】

作出圖形，再把三角形分成兩個等腰三角形的各種情形列方程，計算可得出∠A與∠C的數量關系．

設∠ABC＝y，∠C＝x，過點B的直線交邊AC于D．在△DBC中，

①若∠C是頂角，如圖1，則∠ADB＞90°，

∠CBD＝∠CDB＝90°﹣x，∠A＝180°﹣x﹣y．

此時只能有∠A＝∠ABD，即180°﹣x﹣y＝y﹣(90°﹣x)，

整理得3x+4y＝540°，即∠ABC＝135°﹣∠C，

可得：4∠A+∠C＝180°；

②若∠C是底角，則有兩種情況．

第一種情況：如圖2，

當DB＝DC時，則∠DBC＝x，

△ABD中，∠ADB＝2x，∠ABD＝y﹣x．

由AD＝BD，得180°﹣x﹣y＝y﹣x，

此時y＝90°，

即∠ABC＝90°，∠A+∠C＝90°，∠C為小于45°的任意銳角．

第二種情況，如圖3，

當BD＝BC時，∠BDC＝x，∠ADB＝180°﹣x＞90°，此時只能有AD＝BD，

從而∠A＝∠ABD＝∠C＜∠C，

這與題設∠C是最小角矛盾．

∴當∠C是底角時，BD＝BC不成立．

綜上，∠A與∠C之間的關系是：4∠A+∠C＝180°或∠A+∠C＝90°，∠C是小于45°的任意角．