Question

【題目】綜合與探究

如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線W的函數表達式為y=﹣x2+2x+3，拋物線W與x軸交于A、B兩點（點A在點B的右側），與y軸交于點C，它的頂點為D，直線l經過A、C兩點．

（1）求點A、B、C、D的坐標．

（2）將直線l向下平移m個單位，對應的直線為l′．

①若直線l′與x軸的正半軸交于點E，與y軸的正半軸交于點F，△AEF的面積為S，求S關于m的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；

②求m的值為多少時，S的值最大？最大值為多少？

（3）若將拋物線W也向下平移m單位，再向右平移1個單位，使平移后得到的二次函數圖象的頂點P落在△AOC的內部（不包括△AOC的邊界），請直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）點D坐標為（1，4）（2）①S=﹣m2+m（0＜m＜3），②當m=時，S的值最大，最大值為（3）3＜m＜4

【解析】試題分析：（1）令y＝0，求出A，B的橫坐標，令x＝0求出C的縱坐標，把二次函數解析式轉化為頂點式即可得出D的坐標；

（2）①利用待定系數法確定出直線l的解析式，根據平移得出l′的解析式，求出與坐標軸的交點E，F的坐標，得出AE，OF的長，最后用面積公式即可得出結論；

②借助①的結論確定出最大值；

（3）利用平移后的拋物線的頂點坐標，即可得出結論．

試題解析：

解：（1）當y＝0時，得﹣x2＋2x＋3＝0，解得x＝3或x＝﹣1，

∴A，B兩點坐標分別為(3，0)，(﹣1，0)，

當x＝0時，得y＝3，

∴點C坐標為(0，3)，

∵y＝﹣x2＋2x＋3＝﹣(x﹣1)2＋4，

∴點D坐標為(1，4)，

（2）①設直線l的解析式為y＝kx＋b，

則有，

∴，

∴直線l的解析式為y＝﹣x＋3．

∴直線l′的解析式為y＝﹣x＋3﹣m．

當y＝0時，解得x＝3﹣m，

∴E點坐標為(3﹣m，0)

當x＝0時，解得y＝3﹣m，

∴F點坐標為(0，3﹣m)

∴AE＝3﹣(3﹣m)＝m，OF＝3﹣m．

∴S＝×AE×OF＝m(3﹣m)＝﹣m2＋m(0＜m＜3)，

②∵S＝﹣m2＋m＝﹣(m﹣)2＋

∴當m＝時，S有值最大，最大值為．

（3）∵拋物線W的函數表達式為y＝﹣x2＋2x＋3＝﹣(x﹣1)2＋4，

∴設平移后的拋物線解析式為y＝﹣(x﹣1﹣1)2＋4﹣m＝﹣(x﹣2)2＋4﹣m，

∴P(2，4﹣m)

∵A(3，0)，C(0，3)，

∴直線AC的解析式為y＝﹣x＋3，當x＝2時，y＝1，

∵平移后得到的二次函數圖象的頂點P落在△AOC的內部，

∴0＜4﹣m＜1，

∴3＜m＜4．