Question

如圖，已知拋物線與x軸交于點A（-2，0），B（4，0），與y軸交于點C（0，8）．
（1）求拋物線的解析式及其頂點D的坐標；
（2）設直線CD交x軸于點E．在線段OB的垂直平分線上是否存在點P，使得點P到直線CD的距離等于點P到原點O的距離？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；
（3）點M是直線CD上的一動點，BM交拋物線于N，是否存在點N是線段BM的中點，如果存在，求出點N的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于拋物線與x軸交于點A（-2，0），B（4，0），與y軸交于點C（0，8），利用待定系數法設交點式解答較簡便；
（2）假設存在點P，設出P點坐標，求出PH和PO的長度表達式，根據PH=PO列出方程，若能求出P點坐標，則點P存在，若不能求出點P的坐標，則點P不存在．
（3）假設存在點N是線段BM的中點，根據中點坐標公式求出求出N的坐標表達式，代入拋物線，若能求出N點坐標，則點N存在，若不能求出點N的坐標，則點N不存在．

解答：解：（1）設拋物線解析式為y=a（x+2）（x-4），把C（0，8）代入得a=-1．
∴y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9，
頂點D（1，9）．

（2）假設滿足條件的點P存在，依題意設P（2，t），
由C（0，8），D（1，9）求得直線CD的解析式為y=x+8，
它與x軸的夾角為45°，設OB的中垂線交CD于H，則H（2，10）．
則|PH|=|10-t|，點P到CD的距離為d=

2

2

PH=

2

2

|10-t|．
又PO=

t2+22

=

t2+4

．
∴

t2+4

=

2

2

|10-t|．
平方并整理得：t²+4=

2

4

（10-t）²，
2t²+8=100-20t+t²，
t²+20t-92=0，
t=-10±8

3

．
∴存在滿足條件的點P，P的坐標為（2，-10+8

3

）或（2，-10-8

3

）．

（3）設M的坐標為（x，x+8），依題意則N的坐標為（

x+4

2

，

x+8

2

），代入拋物線解析式得方程，
x²+6x-16=0，
∴x=-8，x=2；
∴N的坐標為（-2，0）、（3，5）．

點評：此題將拋物線與直線相結合，考查了對二次函數與一次函數的性質及圖象上點的坐標特征的掌握情況，
（2）（3）著重考查了點的存在性問題，有一定的開放性．